2024　富山大学　後期生命工学コース総合問題

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$w$は$w^2+w+w^{-1}+w^{-2}+1=0$を満たすものとする．$t=w+w^{-1}$と置き，$w$の満たす方程式を$t$の方程式に書き換えよ．また，書き換えた方程式を解き，$t$の値を全て求めよ．

(2)　設問(1)の$t$の値を用いて$w$の値を全て求めよ．

(3)　$x^5=1$を整数係数の範囲で因数分解せよ．

(4)　$5$次方程式$z^5-1=0$は$1$つの実数解と$4$つの異なる複素数解を持つ．実数解以外の解をそれぞれ$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$とするとき，${z_1}^2+{z_2}^2+{z_3}^2+{z_4}^2$の値は実数になることを示せ．

(5)　$z$と$w$のそれぞれが満たすべき式を比較することにより，${z_1}^2+{z_2}^2+{z_3}^2+{z_4}^2$の値を求めよ．