2024　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$x$は実数とする．

(1)　次の関数$f(x)$の第$3$次までの導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)\text{，}$$f^{‴}(x)$を求めよ．

$f(x)=\sin (x^2+x+1)$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$x$は実数とする．

(2)　次の関数$g(x)$の第$n$次導関数$g^{(n)}(x)$を求めよ．ただし，$n$は$1$以上の整数とし，$x\ne 3\text{，}$$x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

$g(x)={\displaystyle \frac{x+4}{(x-3)(2x+1)}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$x$は実数とする．

(3)　曲線$y=4-x^2$と直線$y=0$で囲まれた図形を直線$x=3$の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　方程式$z^3=8$を満たす複素数$z$のうち，虚部が$0$より大きい$z$を$\alpha \text{，}$$0$より小さい$z$を$\beta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\alpha \right|\text{，}$$\left|\beta \right|\text{，}$$\left|{\alpha }^2\right|\text{，}$$|\beta -\alpha |$をそれぞれ求めよ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\alpha \text{，}$${\alpha }^2\text{，}$${\alpha }^3$を，それぞれ，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする三角形の面積を求めよ．

(3)　$|{\alpha }^2-\alpha |$を求めよ．

(4)　複素数平面上の$3$点$\alpha \text{，}$${\alpha }^2\text{，}$$\beta$を，それぞれ，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$とする三角形を考える．頂点$\mathrm{A}$の内角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

【３】　袋が$2$つある．一方の袋には${\log }_{2}x\text{，}$${\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}$${\log }_{4}x\text{，}$${\log }_4{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}$${\log }_{8}x\text{，}$${\log }_8{\displaystyle \frac{1}{x}}$と書かれた$6$枚の計算カードが入っており，他方の袋には$1\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$8$と書かれた$4$枚の数値カードが入っている．それぞれの袋から$1$枚ずつカードを無作為に取り出し，$1$度取り出したカードは袋の中に戻さない．$1$度目に取り出した計算カードの$x$に$1$度目に取り出した数値カードの数値を代入して得られる値を$a\text{，}$$2$度目に取り出した計算カードの$x$に$2$度目に取り出した数値カードの数値を代入して得られる値を$b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$が整数となる確率を求めよ．

(2)　$a$がとりうる値のうち，最も多く現れる値を求めよ．また，その値が現れる確率を求めよ．

(3)　$a÷b=1$となる確率を求めよ．

(4)　$a-b=1$となる確率を求めよ．