2024　新潟大学　推薦理学部数学プログラム

2024-10321-0201

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $niigata$ という単語の $7$ 個の文字を横一列に並べるとき，その並べ方の総数を求めよ．

2024-10321-0202

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　 $\sin θ + \cos θ = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき， $\sin^{3} θ + \cos^{3} θ$ の値を求めよ．

2024-10321-0203

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　点 $P$ が放物線 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 上を動くとき，点 $P$ から直線 $y = x + 2$ への距離の最小値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　 $a > 0$ とする．定積分 $\int_{0}^{1} | x^{2} - a^{2} | dx$ を求めよ．

2024-10321-0205

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易□　並□　難□

【２】　三角形 $OAB$ において，辺 $OA$ の中点を $M$ とする． $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき， $\vec{OP} = \vec{b} + k \vec{a}$ $（ 0 < k < 1 ）$ となる点 $P$ を考え，線分 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　点 $Q$ が辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分するときの $k$ の値を求め， $\vec{MQ}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．

(2)　 $0 < t < \frac{1}{2}$ となる $t$ に対して， $BQ : QA = t : 1 - t$ であるとする．直線 $MQ$ と直線 $OB$ の交点を $C$ とするとき， $\vec{OC}$ を $t$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．また， $3$ 点 $A ，$ $P ，$ $C$ は一直線上にあることを証明せよ．

(3)　 $0 < t < \frac{1}{3}$ となる $t$ に対して， $BQ : QA = t : 1 - t$ であるとする． $| \vec{a} | = 2 ，$ $| \vec{b} | = 1$ で $\vec{OP}$ と $\vec{AP}$ が垂直であるとき， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を $t$ を用いて表せ．

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易□　並□　難□

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x ≧ 0$ のとき，不等式 $e^{x} ≧ 1 + \frac{x^{2}}{2}$ を証明せよ．

(2)　極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$ を求めよ．

(3)　 $a$ は定数とする．方程式 $x \log x = a$ の異なる実数解の個数を求めよ．

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【４】　数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 4 ，$ $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} - 5}{a_{n} - 2}$ で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = \frac{a_{n} - α}{a_{n} - β}$ で定めたとき， ${b_{n}}$ が等比数列となるような整数 $α ，$ $β$ を求めよ．ただし， $α > β$ とする．

(2)　(1)で定めた等比数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　極限 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

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