2024　新潟大学　前期

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$の点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$は点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$以外に共有点を持たないことを示せ．

(4)　曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}$$y$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{C}$$(3\cos 3\theta ,3\sin 3\theta )$をとる．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{AB}}^2$と${\mathrm{BC}}^2$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

【３】　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,-2)$の定める平面を$\alpha$とし，方程式$x^2+y^2+z^2$$+2x-10y+4z+21=0$が表す球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の中心$\mathrm{P}$の座標と$S$の半径を求めよ．

(2)　実数$s\text{，}$$t$に対して，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たすようにとる．このとき，$\mathrm{D}$の座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{Q}$が平面$\alpha$上を動き，点$\mathrm{R}$が球面$S$上を動くとき，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ求めよ．

【４】　$n\text{，}$$k$を自然数とする．$n$個のボールと$k$個の箱がある．各箱は箱$1\text{，}$箱$2\text{，}\cdots \text{，}$箱$k$ のように表すものとする．$n$個のボールを$k$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．$n$個のボールを投げ入れた後，箱$i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$k\text{）}$に入っているボールの個数を$a_i$とする．このとき，$a_1+a_2$$+\cdots$$+a_k=n$となる．次の問いに答えよ．

(1)　$n=4\text{，}$$k=5$とする．このとき，$a_1=0$となる確率を求めよ．

(2)　$k\geqq 2$とする．このとき，$a_1\times a_2=0$となる確率を$n\text{，}$$k$を用いて表せ．

(3)　$k=4$とする．このとき，$a_1\times a_2\times a_3\times a_4\ne 0$となる確率を$p_n$とする．$p_n$の値を$n$を用いて表せ．

(4)　$k=4$とし，$p_n$を(3)で求めたものとする．このとき，$r>0$で数列$\{r^n(p_{n+1}-p_n)\}$が収束するような$r$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a$を$0<a<1$となる実数とする．座標平面上において，長さが$4$の線分$\mathrm{PQ}$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の端点$\mathrm{P}$は$x$軸上を，端点$\mathrm{Q}$は$y$軸上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$a:(1-a)$の比に内分する点$\mathrm{R}$の軌跡は楕円になる．この楕円を$C$とする．ただし，円は楕円の特別な場合とする．次の問いに答えよ．

(1)　楕円$C$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　楕円$C$で囲まれた部分と連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ \sqrt{3}ax\geqq (1-a)y\end{array}$

の表す領域の共通部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　面積$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【６】　実数$t$に対して，複素数$z$を次の条件(Ⅰ)，(Ⅱ)を満たすようにとる．

(Ⅰ)　$z$の虚部は$0$以上である．

(Ⅱ)　$z^2-2t^{3}z+t^6+9t^2=0$

この$z$に対して，複素数$w$を$w=i\bar{z}$とおく．ただし，$i$は虚数単位とし，$\bar{z}$は$z$の共役複素数とする．次の問いに答えよ．

(1)　複素数$z$と$w$を$t$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq t\leqq 2$のとき，$|z-w|$の最大値を求めよ．また，そのときの$t$の値をすべて求めよ．

(3)　実数$t$を動かしたとき，複素数平面上で$z$が表す点が描く曲線を$C_1$とし，$w$が表す点が描く曲線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．座標平面上の直線$y=-2\sqrt{2}x+\sqrt{3}$を$l_1$とし，直線$y=\sqrt{3}x$を$l_2$とする．また，$l_1$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とし，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の重心の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の中心の座標と半径を求めよ．

【２】　$\mathrm{\angle A}$が直角である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=2$である．正の数$s\text{，}$$t$に対して，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$を$s:t$の比に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおいたとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$が垂直となるような${\displaystyle \frac{s}{t}}$の値をすべて求めよ．

(3)　$8s\leqq 9t$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$は垂直にならないことを示せ．

【３】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{C}$$(3\cos 3\theta ,3\sin 3\theta )$をとる．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{AB}}^2$と${\mathrm{BC}}^2$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【４】　正の数$a\text{，}$$b$に対して，$S={\{{\displaystyle {\int }_0^a}(2x+b)\mathit{dx}\}}^2\text{，}$${\rm T}={\displaystyle {\int }_0^a}{(2x+b)}^2\mathit{dx}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$S\text{，}$$T$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$b=a$で$0<a\leqq 1$のとき，${\displaystyle \frac{T-S}{a}}$の最大値を求めよ．

(3)　$0<a\leqq 1$のとき，$S<T$が成り立つことを示せ．