2024　横浜国立大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\log \sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}}\mathit{dx}$

を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　実数全体で定義された連続関数$f(x)$が，すべての実数$x$に対して$f(x)>0\text{，}$かつ

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{t}{(t^2+1)f(t)}}\mathit{dt}+1$

をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正六角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_6$がある．

　$1$個のさいころを続けて$5$回投げ，出た目を順に$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3\text{，}$$n_4\text{，}$$n_5$とおく．次の条件付き確率をそれぞれ求めよ．

(1)$\text{「}{n}_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3$がすべて異なる」という条件のもとで，「三角形${\mathrm{A}}_{n_1}{\mathrm{A}}_{n_2}{\mathrm{A}}_{n_3}$の面積が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$である」という条件付き確率

(2)$\text{「}{n}_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3$がすべて異なり，かつ，$n_4\ne n_5$である」という条件のもとで，「線分${\mathrm{A}}_{n_4}{\mathrm{A}}_{n_5}$が三角形${\mathrm{A}}_{n_1}{\mathrm{A}}_{n_2}{\mathrm{A}}_{n_3}$の面積を$2$等分する」という条件付き確率

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$を$1:1\text{，}$$2:1\text{，}$$3:1$の比に内分する．点$\mathrm{C}$と$\mathrm{▵PQR}$の重心$\mathrm{G}$を通る直線が平面$\mathrm{OAB}$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

　さらに，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=9\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{3}$であり，直線$\mathrm{CH}$が平面$\mathrm{OAB}$に直交しているとする．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【４】　$\alpha$を，$\left|\alpha \right|<1$をみたす複素数とする．$\bar{\alpha }z\ne 1$となる複素数$z$に対して，

$w={\displaystyle \frac{\alpha -\mathrm{z}}{1-\bar{\alpha }z}}$

と定める．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$z$が$\left|z\right|={\displaystyle \frac{1}{3}}$をみたしながら動くとき，$w$の描く図形$D$を求め，$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$D$を複素数平面に図示せよ．

(2)　$\alpha$が$\left|\alpha \right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたしながら動くとき，(1)で求めた図形$D$が通過する範囲$E$を求め，$E$を複素数平面に図示せよ．

【５】　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．さらに，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，中心${\mathrm{O}}_n\text{，}$半径$r_n$の円$C_n$があり，以下の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたす．

(ⅰ)　点${\mathrm{O}}_1$の座標は$(1-r_1,0)$であり，かつ$r_1<1$である．

(ⅱ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$C_{n+1}$は$C$に内接し，$C_{n+1}$と$C_n$は外接する．

(ⅲ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，半直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}_{n+1}$は，$\mathrm{O}$を中心として半直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}_n$を時計の針の回転と逆向きに$2{\theta }_n$回転したものであり，$0<2{\theta }_n<\pi$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　${\sin }^2{\theta }_1$を$r_1\text{，}$$r_2$の式で表せ．

　以下，$r_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}+1}}$$\text{(}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{)}$とする．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$\sin {\theta }_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$に対して，

$\sin x<x<\sin x+{\displaystyle \frac{1}{5}}{\sin }^{3}x$

を示せ．必要ならば，$3.14<\pi <3.15$を用いてよい．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\theta }_k$は存在し，その極限値を$\alpha$とおく．$\alpha$の小数第$2$位まで（小数第$3$位切り捨て）を求めよ．必要ならば，$1.41<\sqrt{2}<1.42$を用いてよい．

【１】　正の整数$n$に対し，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-4x^2-2^{n}x+8$

と定義する．$x$についての方程式$f(x)=0$が$3$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$$\text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$をもち，そのうちの$1$つが負の整数であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$n\text{，}$および$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\beta }^{\gamma }}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$xyz$空間内に，$2$点$\mathrm{P}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(4,-4,9)$を通る直線$l$がある．点$\mathrm{A}$$(9,1,7)$から$l$にひいた垂線と$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$l$と点$\mathrm{B}$$(1,2,-15)$を含む平面を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}$の座標，および線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．

(2)　以下の$2$つの条件をともにみたす，平面$\alpha$上の点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ．

直線$\mathrm{HC}\perp l\text{，}$$\mathrm{HC}=\mathrm{HA}$

【３】　$m\text{，}$$n$を実数とする．$xy$平面上に直線$l\text{：}y=mx+n$と曲線$C\text{：}y=x^3-3x^2$があり，$l$と$C$は異なる$3$点で交わっている．各交点の$x$座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}a<b<c\text{）}$とおく．

　以下，$b={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)　$b$の値を求めよ．

(2)　$m\text{，}$$n$をそれぞれ$a$を用いて表せ．また，$a$の取りうる値の範囲を求めよ．

　$l$の傾きを$\tan \alpha$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，$C$上の点$(a,a^3-3a^2)$における$C$の接線$l^{\prime }$の傾きを$\tan \beta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{\tan (\beta -\alpha )}}$を$a$を用いて表せ．

(4)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとき，${\displaystyle \frac{1}{\tan (\beta -\alpha )}}$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．