2024　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　$a$を正の実数とし，関数$f(x)=x^3-3a^{2}x$を考える．

(1)　$b$を実数とする．$f(1)>b$が成り立つ点$(a,b)$の領域$S_1$を図示せよ．

(2)　$x$の方程式$f(x)=b$が$3$つの相異なる実数解をもつ点$(a,b)$の領域$S_2$を図示せよ．

【２】　自然数$n$に対し，

${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$

を満たす自然数の数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，${(3-2\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n^2-2b_n^2$は$n$によらない定数であることを示せ．

(4)　(3)の定数を$\alpha$とするとき，

${(3+2\sqrt{2})}^n=\sqrt{k_n}+\sqrt{k_n-\alpha }\text{，}$${(3-2\sqrt{2})}^n=\sqrt{k_n}-\sqrt{k_n-\alpha }$

を満たす自然数$k_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が存在することを示せ．

【３】　$a$を$0<a<1$を満たす定数とする．$\theta$の関数

$f(\theta )=2\cos 2\theta -6a\cos \theta -3a+5$

を考える．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(1)　$x=\cos \theta$とおく．$f(\theta )$を$x$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値，最小値，およびそのときの$\cos \theta$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$におけるすべての$\theta$に対して$f(\theta )>0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(4)　$f(\theta )=0$を満たす$\theta$の個数を，$a$の値により場合分けして求めよ．

【４-Ⅰ】　図のような正六角錐$\mathrm{G‐ABCDEF}$を考える．ここで底面$\mathrm{ABCDEF}$は，点$\mathrm{H}$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形である．また，直線$\mathrm{GH}$は平面$\mathrm{ABCDEF}$と直交し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|=\sqrt{3}$であるとする．

　辺$\mathrm{GC}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{GB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{FQ}$が交点をもつようにとる．その交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　平面$\mathrm{ABCDEF}$上に点$\mathrm{I}$を，直線$\mathrm{RI}$が平面$\mathrm{ABCDEF}$と直交するようにとる，このとき，$\overrightarrow{\mathrm{RI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【４-Ⅱ】　$a$を実数とする．座標平面上の曲線$C_1\text{：}y=a\sqrt{x}$と曲線$C_2\text{：}y=\log x$を考える．

(1)　$t$を正の実数とする．$C_1$の点$(t,a\sqrt{t})$における接線の方程式および，$C_2$の点$(t,\log t)$における接線の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$がある点において共通の接線をもつときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)の$a$に対し，$x>0$のとき，$a\sqrt{x}\geqq \log x$が成り立つことを示せ．

(4)　(2)の$a$に対し，$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=e^4$で囲まれる図形の面積を求めよ．