2024　東京海洋大学　前期海洋生命科,海洋資源環境学部

【１】　$3$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-x+a$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq a<2$のとき，区間$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$における$|f(x)|$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．関数$y=a{x}^2+a^3$のグラフを$C_1\text{，}$関数$y=a{x}^2$のグラフを$C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(p,a{p}^2+a^3)$における接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$は，$C_2$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わる．$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であることを示せ．

(3)　$C_2$と$l$が囲む図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とおく．$\cos \theta$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　(1)の結果を利用して，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$$(a_1,a_2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b_1,b_2)$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$

と表されることを証明せよ．

【４】　図のように，$6$人が向かって座れる大きな円形のテーブルと，$4$人が向かって座れる小さな円形のテーブルがある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$6$人の男子と$4$人の女子がくじ引きで座席を決めるとき，小さな円形のテーブルにすべて男子が座る確率を求めよ．

(2)　男子と女子それぞれ$5$人ずつがくじ引きで座席を決めるとき，どちらのテーブルも男子と女子が交互に座る確率を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$の一般項が

$a_n=1^n+2^n+3^n+4^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n$が$10$の倍数になるための$n$の条件を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．