2024　一橋大学　後期

【１】　$m^2-n^2=10!$を満たす正の整数の組$(m,n)$の個数を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数，$m$を整数とする．$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が次の$2$つの条件を満たすとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$m$の値を求めよ．

・すべての実数$p$に対して${\displaystyle {\int }_p^{p+1}}f(x)\mathit{dx}={(p-m)}^3$が成り立つ．

・$f(x)$は$-2<x<-1$に極値をもつ．

【３】　点$\mathrm{P}$はさいころを投げるごとに三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の頂点を動くものとする．初め$\mathrm{P}$は点${\mathrm{A}}_1$にある．$\mathrm{P}$が点${\mathrm{A}}_t$$\text{（}t=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$にあるとき，$\mathrm{P}$は出た目によって次のように動く．

・出た目$s$が$t\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のいずれかであるとき，$\mathrm{P}$は点${\mathrm{A}}_t$にとどまる．

・出た目$s$が$t\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のいずれでもないとき，$\mathrm{P}$は点${\mathrm{A}}_s$に移動する．

さいころを$k$回目に投げた直後の点$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{P}}_k$とする．以下，$n$を$2$以上の整数とする．

(1)　$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n-1$のいずれに対しても${\mathrm{P}}_k={\mathrm{A}}_2$とはならず，かつ${\mathrm{P}}_n={\mathrm{A}}_2$となる確率を求めよ．

(2)　$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$のなかで${\mathrm{P}}_k={\mathrm{A}}_2$となる$k$が$2$つ以下となる確率を求めよ．

【４】　$a$を正の実数とし，$xy$平面上の直線$L_1\text{，}$$L_2\text{，}$$L_3$をそれぞれ

$L_1\text{：}y=a\text{，}$$L_2\text{：}y=x\text{，}$$L_3\text{：}y=-x$

とする．また，$b$を実数とし，円$C$を

$C\text{：}{x}^2+{(y-b)}^2=1$

とする．直線$L_1\text{，}$$L_2\text{，}$$L_3$のすべてが円$C$と共有点をもち，かつその共有点の総数が$3$となるときの$a\text{，}$$b$の組を求めよ．

【５Ⅰ】　数列$\{a_n\}$は$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$を満たしている．$a_{2024}$を$13$で割った余りを求めよ．

【５Ⅱ】　以下の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$x\text{，}$$y$に対して

$e^x\geqq (x-y+1)e^y$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$個の実数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n$について

${\displaystyle \frac{e^{a_1}+e^{a_2}+\cdots +e^{a_n}}{n}}\geqq e^{{\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}}$

を示せ．

(3)　$n$個の正の実数$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_n$について

${\displaystyle \frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n}}\geqq \sqrt[n]{b_1{b}_2\cdots b_n}$

を示せ．