2024　電気通信大学　後期

$f(x)={(\log x)}^2-4\log x$

に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$\log x$は自然対数を表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$と$x$軸の交点を$x$座標の小さいものから順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．さらに点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$の変曲点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(ⅴ)　次の$2$つの不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle \int }{(\log x)}^2\mathit{dx}$

(ⅵ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線を$l$とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=\cos x-(1-\sin x)\sin 2x$

を考える．$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を，小さいものから順に${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$${\alpha }_3$とする．$\sin {\alpha }_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における$f(x)$の極小値$m$を求めよ．

(ⅲ)　$0$以上の整数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}x\mathit{dx}$とする．部分積分法を利用して，$I_{n+2}$を$I_n$を用いて表せ．さらに$I_6$の値を求めよ．

(ⅳ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅴ)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積$V$を求めよ．

$\mathrm{A}(0,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,-2)$

の定める平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　平面$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$に対して，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標と線分$\mathrm{PQ}$の長さを$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の式で表せ．

　ここで，定点$\mathrm{F}$$(0,1,1)$をとる．空間内で$\mathrm{PQ}=\mathrm{PF}$を満たす点$\mathrm{P}$全体の集合（曲面）を$M$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$は(ⅰ)で点$\mathrm{P}$に対して定めた点である．

(ⅱ)　曲面$M$を平面$z=1$で切った切り口の曲線を$E_1$とする．平面$z=1$上で$E_1$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅲ)　曲面$M$と平面$z=k$が共有点をもつような定数$k$の最小値$k_0$を求めよ．

(ⅳ)　$k>k_0$のとき，曲面$M$を平面$z=k$で切った切り口の曲線を$E_k$とする．平面$z=k$上で$E_k$によって囲まれた部分の面積$S(k)$を求めよ．

(ⅴ)　曲面$M$と平面$z=1$で囲まれた部分の体積$V$を求めよ．

$f_1(x)=-x^2-x+8\text{，}$

$x{f}_{n+1}(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)\mathit{dt}+x{f}_n^{\prime }(x)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．ただし，$f_n^{\prime }(x)$は$f_n(x)$の導関数を表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$を求めよ．

(ⅱ)　$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅳ)　$b_n$を$n$の式で表せ．

(ⅴ)　$c_n$を$n$の式で表せ．

(ⅵ)　$c_n<2^{-2024}$を満たす最小の自然数$n$を$n_0$とする．$n_0$を求めよ．