2024　電気通信大学　前期MathJax

【１】　区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-16{\sin }^{2}x$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(ⅱ)　$\tan \alpha \text{，}$$\tan \beta$の値を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における$f^{\prime }(x)=0$の解をすべて求めよ．

(ⅳ)　区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，関数$f(x)$の極値をすべて求めよ．

(ⅴ)　区間$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

【２】　$e$を自然対数の底とし，$2$つの関数

$f(x)=e^x\sqrt{6-e^x}\text{，}$$g(x)=2\sqrt{2}{e}^{\frac{x}{2}}$

を考える．曲線$y=f(x)$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$6-e^x\geqq 0$となる$x$の値の範囲は$x\leqq x_0$である．$x_0$の値を求めよ．さらに，曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．

(ⅱ)　区間$x<x_0$において，導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int }{e}^x\sqrt{6-e^x}\mathit{dx}$

(ⅳ)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅴ)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　不等式$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}\leqq 1$の表す領域を$D$とし，楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$を$E$とする．さらに，$-1$と異なる実数$a$に対して，円${(x-a)}^2+y^2={(a+1)}^2$を$C_a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x+\sqrt{2}y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x-3}}$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(ⅲ)　円$C_a$と楕円$E$が点$\mathrm{A}$$(-1,0)$と異なる共有点をもつとき，点$\mathrm{A}$と異なる共有点の$x$座標$x_0$を$a$の式で表せ．

(ⅳ)　円$C_a$と楕円$E$が点$\mathrm{A}$$(-1,0)$と異なる共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$2n{a}_{n+1}-(n+2)a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=1\text{，}$${\displaystyle \frac{2n}{n+1}}{b}_{n+1}-{\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}{b}_n={\displaystyle \frac{n(n^2-4)}{2^{n-1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{n(n+1)}}$とおくとき，$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$を求めよ．

(ⅲ)　$d_n={\displaystyle \frac{2^{n-1}}{n(n+1)}}{b}_n$とおくとき，$d_{n+1}$を$d_n$を用いて表せ．また，数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅳ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，$n$の整式$P(n)$はすべての自然数$n$に対して$b_{n+1}-b_n={\displaystyle \frac{P(n)}{2^{n+1}}}$をみたす．整式$P(n)$を求めよ．

(ⅴ)　$b_n$が最大になる自然数$n$を求めよ．