2024　東京農工大学　前期

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に点$\mathrm{A}$$(1,0,0)$と，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$がある．また，$2$点$(2,3,4)\text{，}$$(-3,-2,-6)$を通る直線を$l$とする．直線$l$は$S$と$2$点で交わる．この$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を点$\mathrm{B}$とし，小さい方を点$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

〔１〕　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の座標を，それぞれ求めよ．

〔２〕　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．

〔３〕　平面$\alpha$において$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円を$K$とする．円$K$の中心を$\mathrm{P}$とし，半径を$r$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標と$r$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り$\alpha$に垂直な直線を$m$とすると，$m$と$S$は$2$点で交わる．この$2$つの交点のうち$z$座標が大きい方を点$\mathrm{Q}$とするとき，四面体$\mathrm{ABCQ}$の体積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が次の式で表されるとする．

$S_n=2^{n+3}+{\displaystyle \frac{3\cdot 9^{n+1}}{64}}$$-{\displaystyle \frac{35n}{8}}-{\displaystyle \frac{539}{64}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

〔１〕　$S_1$の値を求めよ．

〔２〕　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

〔３〕　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{3^n(1+3^n)}}$を求めよ．

〔４〕　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{7}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．$b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が整数であることを証明せよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$をそれぞれ

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+x-2\sqrt{4x^2+3}$$\text{（}x>0\text{）}$

$g(x)=x^2+x$

と定める．次の問いに答えよ．

〔１〕　$a$は正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の$y$切片を$a$を用いて表せ．

〔２〕　$b$は実数とし，曲線$y=g(x)$上の点$(b,g(b))$における接線を$l$とする．曲線$y=f(x)$の接線で，$l$と垂直に交わるものが存在するように，定数$b$の値の範囲を定めよ．

【４】　$a$は実数とする．関数$f(x)$を

$f(x)=\sin 2x+a(\sin x-x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

と定める．また，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とおく．次の問いに答えよ．

〔１〕　関数$f(x)$が$0<x<\pi$において極大値と極小値をとるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

〔２〕　$a=4$とし，曲線$C$の変曲点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を求めよ．