2024　東京医科歯科大学　前期

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．自然数の組$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$を解とする方程式

(＊)　$a_1+a_2+\cdots +a_n$$=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$

を考えるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，(＊)の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち，$a_1\leqq a_2\leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，(＊)の任意の解$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$において，$a_i=1$となる$i$が少なくとも$1$つ存在することを示せ．

(3)　(＊)のある解$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$において，$a_i=1$となる$i$がちょうど$2$個存在しているとする．このとき，$n$の取り得る値をすべて求めよ．

【２】　$xyz$空間において，点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,1)$をとり，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．さらに，$\mathrm{N}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とする．また，$z$軸と平行でない直線上の異なる$2$点$\mathrm{P}$$(x,y,z)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$に対して，

${\displaystyle \frac{z^{\prime }-z}{\sqrt{{(x^{\prime }-x)}^2+{(y^{\prime }-y)}^2}}}$

をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の勾配と呼ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$の勾配を$t_1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{NM}}$の勾配を$t_2$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$t_2=0$となるように$\mathrm{N}$をとったとき，$t_1$の値を求めよ．

(2)　$l=\left|\overrightarrow{\mathrm{AN}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{NM}}\right|$とし，$l$が最小となるように$\mathrm{N}$をとったとき，$l$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq t_2\leqq t_1$となるように$\mathrm{N}$をとったとき，$\mathrm{N}$の$y$座標を$s$とする．$s$がとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　$f(x)$を連続関数とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)\sin x\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)\cos x\mathit{dx}$

(2)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)(\sin x+\cos x)\mathit{dx}$$={\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(1-t^2)\mathit{dt}$

(3)　次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin 2x}}}\mathit{dx}$

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．自然数の組$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$を解とする方程式

(＊)　$a_1+a_2+\cdots +a_n$$=a_1\times a_2\times \cdots \times a_n$

を考えるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$n=2$のとき，(＊)の解$(a_1,a_2)$をすべて求めよ．

(2)　$n=3$のとき，(＊)の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち，$a_1\leqq a_2\leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ．

(3)　(＊)の解$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$が$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$をみたすとき，

$a_1\times a_2\times \cdots \times a_{n-1}\leqq n$

となることを示せ．

(4)　$n\geqq 3$のとき，(＊)の任意の解$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$において，$a_i=1$となる$i$が少なくとも$1$つ存在することを示せ．

【３】　$f(x)$を連続関数とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　関数$y=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$の導関数${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$\cos x$を用いて表せ．

(2)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)\sin x\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)\cos x\mathit{dx}$

(3)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\sin 2x)(\sin x+\cos x)\mathit{dx}$$={\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(1-t^2)\mathit{dt}$

(4)　次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\sqrt{\sin 2x}}}\mathit{dx}$