2024　東京大学　前期

【１】　座標空間内の点$\mathrm{A}$$(0,-1,1)$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべて満たすとする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$と異なる．

(ⅱ)　$\mathrm{\angle AOP}\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$

(ⅲ)　$\mathrm{\angle OAP}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

$\mathrm{P}$がとりうる範囲を$xy$平面上に図示せよ．

【２】　次の関数$f(x)$を考える．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^2}}\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

(1)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数$\alpha$で，$f^{\prime }(\tan \alpha )=0$となるものを求めよ．

(2)　(1)で求めた$\alpha$に対し，$\tan \alpha$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の区間$0\leqq x\leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．必要ならば，$0.69<\log 2<0.7$であることを用いてよい．

【３】　座標平面上を次の規則(ⅰ)，(ⅱ)に従って$1$秒ごとに動く点$\mathrm{P}$を考える．

(ⅰ)　最初に，$\mathrm{P}$は点$(2,1)$にいる．

(ⅱ)　ある時刻で$\mathrm{P}$が点$(a,b)$にいるとき，その$1$秒後には$\mathrm{P}$は

・確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$x$軸に関して$(a,b)$と対称な点

・確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$y$軸に関して$(a,b)$と対称な点

・確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で直線$y=x$に関して$(a,b)$と対称な点

・確率${\displaystyle \frac{1}{6}}$で直線$y=-x$に関して$(a,b)$と対称な点

にいる．

　以下の問いに答えよ．ただし，(1)については，結論のみを書けばよい．

(1)　$\mathrm{P}$がとりうる点の座標をすべて求めよ．

(2)　$n$を正の整数とする．最初から$n$秒後に$\mathrm{P}$が点$(2,1)$にいる確率と，最初から$n$秒後に$\mathrm{P}$が点$(-2,-1)$にいる確率は等しいことを示せ．

(3)　$n$を正の整数とする．最初から$n$秒後に$\mathrm{P}$が点$(2,1)$にいる確率を求めよ．

【４】　$f(x)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}{x}^2+4\sqrt{2}$とおく．$0<t<4$を満たす実数$t$に対し，座標平面上の点$(t,f(t))$を通り，この点において放物線$y=f(x)$と共通の接線を持ち，$x$軸上に中心を持つ円を$C_t$とする．

(1)　円$C_t$の中心の座標を$(c(t),0)\text{，}$半径を$r(t)$とおく．$c(t)$と${\{r(t)\}}^2$を$t$の整式で表せ．

(2)　実数$a$は$0<a<f(3)$を満たすとする．円$C_t$が点$(3,a)$を通るような実数$t$は$0<t<4$の範囲にいくつあるか．

【５】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$をとり，$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{AC}$の中点とする．三角形$\mathrm{ABD}$の周および内部を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．

【６】　$2$以上の整数で，$1$とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=x^3+10x^2+20x$とする．$f(n)$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を整数の定数とし，$g(x)=x^3+a{x}^2+bx$とする．$g(n)$が素数となるような整数$n$の個数は$3$個以下であることを示せ．

【１】　座標平面上で，放物線$C\text{：}y=a{x}^2+bx+c$が$2$点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-\cos \theta ,\sin \theta )$を通り，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のそれぞれにおいて円$x^2+y^2=1$と共通の接線を持っている．ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$s=\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$A$を$s$を用いて表せ．

(3)　$A\geqq \sqrt{3}$を示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．必要ならば，$0.3<{\log }_{10}2<0.31$であることを用いてよい．

(1)　$5^n>{10}^{19}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　$5^m+4^m>{10}^{19}$となる最小の自然数$m$を求めよ．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1)$をとる．$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}$$(p,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,0)$が，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たすとする．

(ⅰ)　$0<p<1$かつ$p<q$

(ⅱ)　線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{\angle OAP}=\mathrm{\angle PMQ}$

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　$q={\displaystyle \frac{1}{3}}$となる$p$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OAP}$の面積を$S\text{，}$$\mathrm{▵PMQ}$の面積を$T$とする．$S>T$となる$p$の範囲を求めよ．

【４】　$n$を$5$以上の奇数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする円をとり，それに内接する正$n$角形を考える．$n$個の頂点から異なる$4$点を同時に選ぶ．ただし，どの$4$点も等確率で選ばれるものとする．選んだ$4$点を頂点とする四角形が$\mathrm{O}$を内部に含む確率$p_n$を求めよ．