2024　千葉大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$3$辺の長さが$2\text{，}$$5\text{，}$$a$である三角形が存在するような，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$3$辺の長さが${\log }_{10}(5x)\text{，}$${\log }_{10}(x+10)\text{，}$${\log }_{10}3$である三角形が存在するような，$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　ある二等辺三角形の$3$辺の長さが${\log }_{10}(5x)\text{，}$${\log }_{10}(x+10)\text{，}$${\log }_{10}3$であるとき，$x$の値を求めよ．

【２】　白球が$3$個，黒球が$5$個，赤球が$2$個入った袋がある．以下のゲームを$n$回続けて行う．

　袋から球を$1$個取り出す．白球だった場合は$1$点を獲得する．黒球だった場合はさいころを投げて，出た目が$3$の倍数だった場合には$1$点，そうでない場合には$0$点を獲得する．赤球だった場合はコインを投げて，表が出た場合は$2$点，裏が出た場合は$0$点を獲得する．取り出した球は袋に戻さない．

(1)　$n=2$のとき，総得点がちょうど$3$点となる確率を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，総得点がちょうど$5$点となる確率を求めよ．

(3)　$n=3$のとき，総得点が$4$点以上となる確率を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$f(x)=x^2-ax+a^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸が$x>0$の範囲に共有点を$2$個もつような，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$k$を正の実数とし，$g(x)=kx$とする．$a$が(1)の範囲にあるとき，$y=|f(x\left)\right|$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点がちょうど$3$個となるような$k$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2\pi }{3}}}{x}^2\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{P}(z)\text{，}$$\mathrm{Q}(-1)\text{，}$$\mathrm{R}(\sqrt{3}-1-i)$が正三角形をなすとき，複素数$z$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【４】　以下の問いに答えよ．

(3)　正の整数$n\text{，}$$p\text{，}$$q$が，$p>q$かつ${}_{p}C_2+{}_{q}C_1=n$を満たすとする．${}_{m}C_2\leqq n$となる最大の整数$m$を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．座標平面上の$2n$個の点からなる集合

$\{(x,y)|x=1,2,3,\cdots ,n\text{，}$$y=1,2\}$

を考える．この集合から異なる$3$点を無作為に選び，その$3$点を線分で結んで得られる図形の面積を$X$とする．ただし，$3$点が同一直線上にあるときは$X=0$とする．

(1)　$k$が$0$以上の整数のとき，$X$が${\displaystyle \frac{k}{2}}$となる確率$p_k$を$n$と$k$の式で表せ．

(2)　$X$が${\displaystyle \frac{n}{4}}$以下となる確率を$q_n$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．

【６】　関数$f(x)=e^x+e^{-2x}$について以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$f(x)=2$となる$x$の値をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$x$の値のうち最小のものを$a_1\text{，}$最大のものを$a_2$とする．$y=f(x)$のグラフ，$x$軸，直線$x=a_1\text{，}$直線$x=a_2$で囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【７】　$n$を正の整数とする．$x$の関数

$f(x)=x^3-2n{x}^2+(2n-3)x+1$

について以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を$f(x)=0$の$1$つの解とする．$f\left({\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}\right)$の値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．

(3)　方程式$f(x)=0$の解で$2$番目に大きいものを${\beta }_n$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\beta }_n$を求めよ．

【８】　半径$1\text{，}$中心$\mathrm{O}$の円$C$がある．$2$つの円$C_1$と$C_2$が次の$2$つの条件を満たすとする．

・$C_1$と$C_2$はどちらも$C$に内接する．

・$C_1$と$C_2$は互いに外接する．

円$C_1\text{，}$$C_2$の中心をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とし，半径をそれぞれ$p\text{，}$$q$とする．$\theta =\mathrm{\angle DOE}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$p$を固定する．$\theta$が$0$に近づくとき，${\displaystyle \frac{q}{{\theta }^2}}$の極限値を求めよ．

　さらに，円$C_3$が次の$2$つの条件を満たすとする．

・$C_3$と$C_1$は半径が等しい．

・$C_3$は$C$に内接し，$C_1\text{，}$$C_2$のどちらとも外接する．

このとき以下の問いに答えよ．

(3)　$p=\sqrt{2}-1$のとき，$q$の値を求めよ．

(4)　$\theta$が$0$に近づくとき，${\displaystyle \frac{q}{p}}$の極限値を求めよ．

【９】　$m$を$0$以上の整数，$n$を$1$以上の整数，$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，$F(m,n)$を

$F(m,n)={\displaystyle \sum _{k=m}^{m+n-1}}{}_{k}C_m{t}^k$

で定める．

(1)　$p$を整数とする．

$A={\displaystyle \frac{(t-1)F(m+1,n)+tF(m,n)}{t^p}}$

が$t$によらない値となるような$p$と，そのときの$A$を求めよ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }F(m,n)$が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，$0<s<1$のとき$\underset{k\to \infty }{\lim }{k}^m{s}^k=0$であることは用いてよい．

志望別問題選択一覧

数学I,II,A,B

　国際教養,文(行動科学コース),法政経,教育(小学,中学国語社会理科技術,小中専門教科,英語,特別支援,乳幼児),園芸(食料資源経済学科)学部,先進科学プログラム(化学,生物,植物生命科,人間科学)

　　【１】,【２】,【３】

数学I,II,III,A,B

教育(中学数学)学部

　【３】,【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(物理,化学,生物,地球科学科),工,データサイエンス,園芸(園芸,応用生命化,緑地環境学科),薬学部,先進科学プログラム(物理,工学,データサイエンス)

　【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(数学・情報数理学科)学部

【４】,【５】, 【６】,【７】,【８】,【９】

医学部

【５】,【６】,【７】,【８】,【９】