2024　埼玉大学　前期(経済，教育学部)

【１】　空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,1,3)$が定める平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{P}$$(1,1,3)$を通り，平面$\alpha$に垂直な直線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の形に表したときの実数$s\text{，}$$t$の値を求めなさい．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PH}}\right|$を求めなさい．

【２】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．このとき，次の(ルール)に従って数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．

(ルール)　点$\mathrm{P}$の座標が$n$のとき，コインを$n$枚同時に投げる．そのうち表がちょうど$m$枚出たら，数直線上の正の方向に$m$動き，$n$枚のコインがすべて裏であれば点$\mathrm{P}$は動かない．例えば，点$\mathrm{P}$の座標が$3$のときはコインを$3$枚同時に投げる．そのとき，表が$3$枚出たら正の方向に$3$動き，表が$2$枚と裏が$1$枚出たら正の方向に$2$動き，表が$1$枚と裏が$2$枚出たら正の方向に$1$動き，裏が$3$枚出たら点$\mathrm{P}$は動かない．

　点$\mathrm{P}$の初めの座標は$3$として，上の(ルール)に従って，コインを投げて点$\mathrm{P}$を動かす操作を続けておこなう．次の問に答えなさい．ただし，コインの表と裏が出ることは同様に確からしいものとする．

(1)　上の(ルール)に従って，操作を続けて$2$回おこなった場合，点$\mathrm{P}$の座標が$4$になる確率を求めなさい．

(2)　上の(ルール)に従って，操作を続けて$2$回おこなった場合，点$\mathrm{P}$の座標が$5$になる確率を求めなさい．

(3)　上の(ルール)に従って，操作を続けて$3$回おこなった場合，点$\mathrm{P}$の座標が$5$になる確率を求めなさい．

【３】　以下の問に答えなさい．

(1)　$m\text{，}$$n$を実数とする．不等式$0<m<n$が成り立つとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．

${\displaystyle \frac{m-1}{m}}<{\displaystyle \frac{n-1}{n}}$

(2)　次の$A_n\text{，}$$B_n$について，$A_{5000}$と$B_{5000}$の大小を比較しなさい．

$A_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{5}{6}}$$\times \cdots \times {\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}$

$B_n={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{6}{7}}$$\times \cdots \times {\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}$

(3)　(2)における$A_n$について，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．

$A_{5000}<{\displaystyle \frac{1}{100}}$

【４】　$a$を正の定数として，平面上の放物線$y=a{(x-1)}^2$を$F$とする．$t$を$1$より大きい定数として，放物線$F$上の点$\mathrm{A}$$(t,a{(t-1)}^2)$における接線を$l$とし，接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$の座標を$(t,0)$とし，放物線$F$の頂点を点$\mathrm{D}$とする．次の問に答えなさい．

(1)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S_1\text{，}$直線$\mathrm{AD}$と放物線$F$で囲まれた部分の面積を$S_2\text{，}$放物線$F$と$x$軸と接線$l$で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．このとき，$S_1:S_2:S_3$を求めなさい．