2024　群馬大学　推薦共同教育学部小論文

【１】　次の問に答えよ．なお，$a$を実数とする．

(1)　曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}$における接線を$T_{\mathrm{P}}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(a,a^2)$とするとき，$T_{\mathrm{P}}$の方程式は$y=2ax-a^2$であることを示せ．

(2)　直線$T_{\mathrm{P}}$と直交し，点$\mathrm{F}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$を通る直線を$L_{\mathrm{P}}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(a,a^2)$とするとき，$2$直線$T_{\mathrm{P}}\text{，}$$L_{\mathrm{P}}$の交点の座標は$({\displaystyle \frac{p}{2}},0)$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^2$上を動くとき，直線$T_{\mathrm{P}}$に関して，点$\mathrm{F}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$と対称な点$\mathrm{Q}$の軌跡は直線であることを証明せよ．

(4)　(3)の点$\mathrm{Q}$の軌跡として得られる直線を$l$とする．このとき，曲線$y=x^2$は，「点$\mathrm{F}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$からの距離と，直線$l$からの距離が等しい点$\mathrm{R}$の軌跡」に一致することを証明せよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)「関数$f(x)$が$x=a$で連続であること」と「関数$f(x)$が$x=a$で微分可能であること」の定義を述べたうえで，関数$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば関数$f(x)$が$x=a$で連続であることを証明せよ．

(2)　左側からの極限$\underset{x\to -0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x\left|x\right|}}$と右側からの極限$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x\left|x\right|}}$について考察したうえで，極限$\underset{x\to 0}{\mathrm{lin}}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x\left|x\right|}}$を調べよ．

(3)　$r$を定数とし，関数$g(x)$を

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\left|x\right|}^r{\sin }^{2}x& \text{（}x\ne 0\text{）}\\ 0& \text{（}x=0\text{）}\end{array}$

により定める．次の条件(P)が成り立つための，定数$r$の範囲に関する必要十分条件を答え，その根拠を述べよ．

条件(P)「関数$g(x)$が$x=0$で連続であり，かつ関数$g(x)$が$x=0$で微分可能でない．」