2024　群馬大学　後期情報学部小論文

【１】　次の文章を読んで，問1‒1，1‒2，1‒3，1‒4に答えよ．

　半径$1$の円$C$について以下の問いに答えよ．答えには根拠を含めること．

問1‒1　円$C$上に互いに異なる点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$x$とするとき，$x$のとりうる範囲を答えよ．

問1‒2　円$C$上に互いに異なる点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が円の中心を通るようにとる．また，円$C$上で点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と異なる位置に点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を最大にする点$\mathrm{R}$はどのように決めればよいかを答えよ．また，そのときの三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を答えよ．

問1‒3　円$C$上に互いに異なる点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が円の中心を通らないようにとる．また，円$C$上で点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と異なる位置に点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を最大にする点$\mathrm{R}$はどのように決めればよいかを答えよ．また，そのときの三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を線分$\mathrm{PQ}$の長さ$x$の関数として答えよ．

問1‒4　円$C$上に互いに異なる点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を最大にする点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$のとり方と，そのときの面積を答えよ．

【２】　次の文章を読んで，問2‒1，2‒2，2‒3，2‒4，2‒5に答えよ．

　$N$個の箱と$k$個のボールがある．ただし，$2\leqq k\leqq N$とする．$1$個目から$k$個目までのボールを入れる箱を$N$個の箱から$1$つずつ選び，すべてのボールを箱に入れる．どのボールを入れるときでも，各箱は等しい確率${\displaystyle \frac{1}{N}}$で選ばれるとする．各箱はすべてのボールが入るほど十分に大きいとする．

問2‒1　$2$個目から$k$個目までのボールを入れるすべての箱が$1$個目のボールを入れる箱と異なる確率$P(N,k)$を考える．すなわち$P(N,k)$は，$2\leqq i\leqq k$となるすべての$i$に対して以下の事象が起こる確率である．

例えば$4$個の箱と$3$個のボールがあり，$1$個目から$3$個目までのボールを入れる箱を選ぶとき，$P(4,3)$は以下の$2$つの事象が起こる確率である．

このとき，$2$個目と$3$個目のボールを入れる箱が同じになる可能性がある．$P(N,k)$を$N$と$k$の式で表せ．

問2‒2　$1$個目から$k$個目までのボールを入れるすべての箱が異なる確率$Q(N,k)$を考える．すなわち$Q(N,k)$は，$2\leqq i\leqq k$となるすべての$i$に対して以下の事象が起こる確率である．

例えば$4$個の箱と$3$個のボールがあり，$1$個目から$3$個目までのボールを入れる箱を選ぶとき，$Q(4,3)$は以下の$2$つの事象が起こる確率である．

このとき，問2‒1の状況と異なり，$2$個目と$3$個目のボールを入れる箱は異なる．$Q(N,k)$を$N$と$k$の式で表せ．

問2‒3　任意の自然数$n\geqq 1$に対して，不等式

${(1-{\displaystyle \frac{1}{N}})}^n\geqq 1-{\displaystyle \frac{n}{N}}$

が成り立つことを$n$についての数学的帰納法で証明せよ．また，次の不等式を証明せよ．

$P(10,5)\geqq {\displaystyle \frac{3}{5}}$

問2‒4　次の不等式を証明せよ．

$Q(N,k)\leqq {(1-{\displaystyle \frac{1}{N}})}^{{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}}$

問2‒5　任意の自然数$n\geqq 1$に対して，不等式

${(1-{\displaystyle \frac{1}{N}})}^n\leqq 1-{\displaystyle \frac{n}{N}}＋{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2N^2}}$

が成り立つことを$n$についての数学的帰納法で証明せよ．また，次の不等式を証明せよ．

$Q(10,5)\leqq {\displaystyle \frac{9}{20}}$