2024　群馬大学　前期

【１】　$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目の数を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のうち，少なくとも$2$つは偶数である確率を求めよ．

(2)　積$abc$が$60$である確率を求めよ．

(3)　$2$次方程式$x^2-(a+b)x+c=0$が虚数解をもつ確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められている．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n+1}{3n}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t^2:(1-t^2)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値と，そのときの実数$t$の値を求めよ．

【４】　$f(x)=x\log (1+x)$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(0,0)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　直線$y=x$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　以下の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，$2$つの関数$y=|\cos x|\text{，}$$y=|\cos 2x|$のグラフのみで囲まれた部分の面積，および$2$つの関数$y=|\cos x|\text{，}$$y=|\cos 2x|$のグラフと直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分の面積の和を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，$2$つの関数$y=\cos x\text{，}$$y=\cos 2x$のグラフと直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とする．$x$についての整式$A(x)$と$B(x)$を

$A(x)=x^3-3a{x}^2+3bx+c\text{，}$$B(x)=x^2-2ax+b$

とおく．$3$次方程式$A(x)=0$は$x=-1$を解にもつとし，$A(x)$を$x+1$で割った商を$Q(x)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$Q(x)$を求めよ．また，$c$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　方程式$Q(x)=0$が実数解をもつとき，方程式$B(x)=0$も実数解をもつことを示せ．

(3)　$2$つの方程式$Q(x)=0\text{，}$$B(x)=0$がともに$x=a+1$を解にもつとき，定数$a$の値を求めよ．

【５】　$xy$平面上において，連立不等式

$y\leqq -x^2+4x\text{，}$$2x+y\geqq 0$

の表す領域を$A$とする．以下の問に答えよ．

(1)　領域$A$の面積を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$A$を動くとき，${\displaystyle \frac{y+11}{x+6}}$の最大値と最小値を求めよ．

【６】　関数$f(x)=e^{-x}\sin 2x$について以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$とすると$I=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-x}\cos 2x\mathit{dx}$となることを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}$から$\mathrm{I}$までの文字が書かれた$9$枚の同じ大きさの正方形のカードが，右図のように隙間なく並べられている．あるカードの上に置かれた玉$\mathrm{Q}$は，$1$秒ごとに，玉$\mathrm{Q}$が置かれているカードに隣接する上下左右のカードのどれかに移動する．$n$は自然数とし，$\mathrm{X}$と書かれたカードに置かれた玉$\mathrm{Q}$が，$n$秒後に$\mathrm{Y}$と書かれたカードにあるとき，そこまでの経路の総数を$N(\mathrm{X},\mathrm{Y},n)$で表す．たとえば，$N(\mathrm{A},\mathrm{B},1)$は，$1$秒ごとのカード間の移動を$\to$で表すならば，$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$の経路のみで$1$となり，$N(\mathrm{A},\mathrm{B},3)$は，$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{B}$の$2$つの経路があるので$2$となる．以下の問に答えよ．

(1)　$n$は自然数とする．$N(\mathrm{C},\mathrm{E},2n)$を求めよ．

(2)　$n$は$2$以上の自然数とする．$N(\mathrm{A},\mathrm{E},2n)$を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数の定数とする．$x$についての整式$A(x)$と$B(x)$を

$A(x)=x^4+2p{x}^3+4x^2+qx+p+2\text{，}$$B(x)=x^3+2p{x}^2+3x-2p+q$

とおく．$A(x)$を$B(x)$で割った余りを$R(x)$とし，$B(x)$を$R(x)$で割った余りを$S(x)$とする．以下の問に答えよ．ただし，方程式の解は複素数の範囲で考えることにする．

(1)　$R(x)$と$S(x)$を求めよ．

(2)　$\alpha$を複素数とする．$R(\alpha )=S(\alpha )=0$は，$A(\alpha )=B(\alpha )=0$であるための必要十分条件であることを示せ．

(3)　$p=3$とする．$2$つの方程式$A(x)=0\text{，}$$B(x)=0$が共通の解を少なくとも$1$つもつような定数$q$の値をすべて求めよ．

(4)　方程式$R(x)=0$が実数解をもたないように，定数$p$の値の範囲を定めよ．さらに$p$がその範囲にあるとき，$2$つの方程式$A(x)=0\text{，}$$B(x)=0$が共通の解を少なくとも$1$つもつように，定数$p\text{，}$$q$の値を定めよ．

【３】　六角錐$\mathrm{O‐ABCDEF}$は，底面$\mathrm{ABCDEF}$が各辺の長さ$1$の正六角形で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=2$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{e}$を用いて表せ．

　辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{MP}+\mathrm{PC}$が最小になるようにとる．

(3)　$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(4)　$\mathrm{P}$は$3$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$の定める平面上にないことを示せ．

【５】　$n$は自然数とし，$a$は$0<a\leqq 1$を満たす定数とする．$I_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^a}{(a-x)}^n{e}^x\mathit{dx}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$I_1$を求めよ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

(3)　$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(4)　(3)までの結果を用いて，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a^n}{n!}}$の和を求めよ．