2024　宇都宮大学　共同教育学部数学分野推薦小論文

【１】　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$は，$x=1$で極小値$-1$を，$x=2$で極大値$0$をとる．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は定数とする．

問１　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を定めよ．

問２　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は問１で定めた値とする．関数$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

問３　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は問１で定めた値とする．関数$f(x)$の導関数を$g(x)$で表すとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^3}|g(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{q}$とおき，$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$のなす角を$\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{BF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{F}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形になることを説明せよ．

問４　$\mathrm{F}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$400$以下の自然数全体の集合を$U$とし，$U$の要素のうち，$8$で割ったときの余りが$1$である自然数の集合を$A\text{，}$平方数でない自然数の集合を$B$とする．ここで，平方数とは，$1^2=1\text{，}$$2^2=4\text{，}$$3^2=9\text{，}$$4^2=16\text{，}\cdots$のように，自然数の$2$乗として表される自然数のことである．次の問いに答えよ．

問１　集合$A$に属する全ての自然数の和$s$を求めよ．

問２　集合$B$に属する全ての自然数の和$t$を求めよ．

問３　奇数$n$に対して，$n^2$を$8$で割ったときの余りは$1$であることを証明せよ．

問４　和集合$A\cup B$に属する全ての自然数の和$u$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

問１　多角形の内角の和について考える．例えば，五角形では，右の図のように$3$つの三角形に分割できるので，五角形の内角の和は$180\mathrm{°}\times 3$の式で求められる．

　五角形の内角の和が$540\mathrm{°}$になることは，$3$つの三角形に分ける場合だけでなく，次の場合でも説明することができる：

(1)　$4$つの三角形に分ける場合

(2)　$5$つの三角形に分ける場合

　(1)と(2)の分け方を図に示し，それぞれの場合で五角形の内角の和が$540\mathrm{°}$になることを説明せよ．

問２　数学の問題解決において，解決された問題やその解決過程を振り返ることの意義について，あなたの経験を踏まえて$600$字以内で述べよ．