2024　筑波技術大学　前期

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　次の式を因数分解しなさい．

$(x^2-4x+4)(x^2-4x-6)+9$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　次の式を計算しなさい．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　$2$次関数$y=x^2-4x$$\text{（}1\leqq x\leqq 4\text{）}$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　生徒が$16$人いるクラスで，$5$点満点の小テストを行った結果，右の表のようになった．また，第$1$四分位数が$1.5$点，中央値が$3$点，最頻値が$4$点となっている．このとき$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の人数を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　$10$進数で表される数$298$を$n$進法で表すと${604}_{(n)}$となるとき，$n$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　次の式を満たす実数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

${\displaystyle \frac{3-i}{1+3i}}+{\displaystyle \frac{3+i}{1-3i}}=a+bi$

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　整式$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+2x-8$が$x+2$で割り切れ，$x-2$で割ると余りが$-8$となる係数$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　等式$2{\log }_{2}x=3{\log }_8(3-2x)$を満たす$x$の値を求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　次の$3$次方程式の異なる実数解の個数を求めなさい．ただし，$a$は実数とする．

$x^3-6a{x}^2=0$

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　下の展開図１を組み立てて立体$V$を作る．ただし，一辺の長さはすべて$1$とする．これとは別に，展開図２を組み立てて円柱形の立体$W$を作る．立体$W$の側面には隙間はないものとする．

　水平な地面に$A$の面が接するように立体$V$を置き，その上から立体$W$を，$B$の面が地面に水平になるようにかぶせる．このとき，$B$の面の最小の直径を求めなさい．

【３】　放物線$y=x^2$上に，$2$点$\mathrm{A}$$(-2,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,9)$がある．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　放物線$y=x^2$を平行移動したもので，グラフの頂点が点$(-1,2)$である$2$次関数を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点の座標を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AB}$と直交し，点$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めなさい．

(4)　放物線$y=x^2$と$x$軸，および$2$直線$x=-2\text{，}$$x=3$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

(5)　点$(4,0)$を中心とし，放物線$y=x^2$に接する円の方程式を求めなさい．ただし，放物線と円の接点を通る接線の傾きを$4$とする．

【４】　$30$以下のすべての素数が書かれたカードが$1$組ある．各カードにはそれぞれ異なる数字が$1$つだけ書かれているものとする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　カードに書かれた素数をすべて書きだしなさい．

(2)　すべてのカードの中から$1$枚を引くとき，そのカードに書かれた数字が$10$を超える確率を答えなさい．

(3)　すべてのカードの中から$2$枚を同時に引くとき，それらのカードに書かれた数字の和が$10$未満となる組み合わせは何組あるか答えなさい．

(4)　すべてのカードの中から$2$枚を同時に引くとき，それらのカードに書かれた数字の和が$10$未満とならない確率を求めなさい．

(5)　すべてのカードの中から$7$枚を横一列に並べるとき，一番左が$2\text{，}$一番右が$29$と書かれたカードになる並べ方は何通りあるか答えなさい．

【５】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{B}$$(-4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,0)$とし，$\mathrm{CA}=4\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}$は鋭角とする．また，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を$\mathrm{O}$とする．以下の各問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{\angle ABC}$の大きさを求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(3)　円$\mathrm{O}$上の点$\mathrm{P}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{\angle CPD}=\theta$とするとき，$\mathrm{\angle PDC}$を$\theta$を用いて表しなさい．ただし，点$\mathrm{P}$は第$4$象限にあるものとする．

(4)　円$\mathrm{O}$上の点$\mathrm{Q}$$(2\sqrt{3},-2)$における接線の方程式を求めなさい．

(5)　円$\mathrm{O}$と，(4)で求めた接線と，$x$軸とで囲まれた領域を表す連立不等式を求めなさい．ただし，境界は含むものとする．