2024　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】(1)　$123$以上$789$以下の整数であって，$6$の倍数であるが，$4$の倍数でないものの個数を求めよ．

【１】(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^4\theta \mathit{d\theta }$を求めよ．

【１】(3)　$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$\text{（}n\geqq 3\text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$は$\mathrm{\angle BCA}$が直角で$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=1$を満たすとする．$0<t<1$とし，辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{AC}$と平行な直線と，直線$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．また，$\mathrm{E}$を通り直線$\mathrm{AE}$と直交する直線と，直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵BFE}$の面積を$t$を用いて表せ．

【３】　実数$a$は$0<a<4$を満たすとし，$f(x)=|x^2-a|+1$とおく．$xy$平面上の$2$点$(0,1+a)\text{，}$$(2,0)$を通る直線の方程式を$y=g(x)$とする．$h={\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$とおく．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}$を$a$を用いて表せ．

(2)　$h$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が$0<a<4$の範囲を動くとき，$h$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．