2024　筑波大学　前期

【１】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=2$とする．$\mathrm{\angle OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{OD}$を引く．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵BCD}$の面積を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x>1\text{，}$$y>1$のとき，不等式

${\log }_{x}y+{\log }_{y}x\geqq 2$

が成り立つことを示せ．

(2)　座標平面において，連立不等式

$x>1\text{，}$$y>x\text{，}$${\log }_{x}y+{\log }_{y}x<{\displaystyle \frac{5}{2}}$

の表す領域を図示せよ．

(3)　(2)の領域の中で$x^2+y^2<12$を満たす部分に境界線を含めた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．

【３】　$f(x)=x(x+1)(x-1)$とする．座標平面において，曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線を$L$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$L$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$t\ne 0$のとき，直線$L$と曲線$C$の共有点で，点$(t,f(t))$とは異なるものを$(a,f(a))$とする．$a$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$0$を除いた実数を動くとき，$f^{\prime }(t)f^{\prime }(a)$の最小値を求めよ．

(3)　次の条件(A)を満たすような実数$t$の範囲を求めよ．

(A)　曲線$C$上の点$(s,f(s))$における接線が直線$L$と直交するような実数$s$が存在する．

【４】　座標平面において，媒介変数表示

$x=-t(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})\text{，}$$y=\sin \pi t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

で表される曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}t\sin \pi t\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　実数$a$に対し，曲線$C$と直線$x=a$の共有点の個数を求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　$a$と$b$は実数の定数とする．関数

$f(x)=(1-2x^2)\cos 2x$$+2x\sin 2x$$+a{\cos }^{2}x$$+b{\displaystyle {\int }_0^x}t\sin 2t\mathit{dt}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$a=8{\pi }^2\text{，}$$b=-4\pi$のとき，$0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$において$f(x)$が極値をとる$x$の値をすべて求めよ．

(2)　次の条件(B)を満たす$a\text{，}$$b$を求めよ．

(B)　$0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$において，$f(x)$は極値をとらない．

【６】　定数$\alpha$は実数でない複素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha -\left|\alpha \right|}{\alpha +\left|\alpha \right|}}$は純虚数であることを示せ．

(2)　純虚数$\beta$で，${\displaystyle \frac{\beta -\left|\alpha \right|}{\alpha +\left|\alpha \right|}}$が純虚数となるものがただ一つ存在することを示せ．

(3)　複素数$z$を${\displaystyle \frac{z-\left|\alpha \right|}{\alpha +\left|\alpha \right|}}$が純虚数となるように動かすとき，$\left|z\right|$が最小となる$z$を$\alpha$を用いて表せ．

問題選択一覧

数学I・II・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択

数学I・II・III・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択,【４】,【５】,【６】から２題選択

　総合選抜文系,社会学類,国際総合学類　数学I・II・A・Bを解答

　障害科学類　数学I・II・A・Bまたは数学I・II・III・A・Bを選択して解答

　それ以外の学類　数学I・II・III・A・Bを解答