2024　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

易□　並□　難□

(1)　空間ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 1) ，$ $\vec{b} = (1, 0, 3)$ に対して， $| \vec{a} + t \vec{b} |$ の最小値とそのときの実数 $t$ の値を求めよ．

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(2)　方程式 $z^{6} = - 64$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ．

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(3)　次の定積分を求めよ．

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos 2 x dx$

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(4)　初項 $a ，$ 公差 $d$ の実数のなす等差数列の初項から第 $5$ 項までの和が $10 ，$ 積が $320$ であるとき，初項 $a$ と公差 $d$ の値の組 $(a, d)$ をすべて求めよ．

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(1)　関数 $f (x)$ は $x > 0$ で減少することを証明せよ．また，極限 $\lim_{x \to \infty} f (x)$ を求めよ．

(2)　 $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるような点は，図形 $D_{n}$ に何個あるかを $n$ を用いて表せ．

(3)　図形 $D_{9}$ の面積 $S$ を求めよ．

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(1)　原点 $O$ は円 $C$ の内部にあることを証明せよ．また，点 $P$ のとり方に関係なく，円 $D$ は原点 $O$ を通ることを証明せよ．

　このことから，点 $P$ のとり方に関係なく，円 $C$ と円 $D$ は $2$ 点で交わるので，円 $C$ と円 $D$ の共通接線は $2$ 本である．この $2$ 本の共通接線の交点を $Q$ とする．

(2)　点 $A$ は半直線 $QP$ 上にあることを証明せよ．また， $\frac{QP}{QA}$ を求めよ．

(3)　点 $P$ が円 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上を動くとき，点 $Q$ の軌跡を求めよ．