2024　茨城大学　後期

(1)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{AM}$を$\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　$V(\theta )$を求めよ．

(3)　$V(\theta )$の最小値，およびそのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

(1)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${(1+x)}^p<1+x^p$

(2)　$a>0\text{，}$$b>0$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${(a+b)}^p<a^p+b^p$

(3)　$a>0\text{，}$$b>0$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${(a+b)}^q\leqq 2^{q-1}(a^q+b^q)$

(4)　$\alpha <\beta$とする．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は閉区間$[\alpha ,\beta ]$で連続で，常に$f(x)>0\text{，}$$g(x)>0$であるとする．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{\{f(x)+g(x)\}}^p\mathit{dx})}^{\frac{1}{p}}$$<2^{\frac{1}{p}-1}\{{({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{\{f(x)\}}^p\mathit{dx})}^{\frac{1}{p}}+{({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{\{g(x)\}}^p\mathit{dx})}^{\frac{1}{p}}\}$

規則：$1$個のさいころを$1$回投げて出た目によって，それが$3$以下ならば$\mathrm{A}$が$1$点を得る．出た目が$4$または$5$ならば$\mathrm{B}$が$1$点を得る．出た目が$6$ならば$\mathrm{C}$が$1$点を得る．

　さいころを投げる回数が$n$回以下で，$\mathrm{A}$が勝者となる確率を$P_n\text{，}$$\mathrm{B}$が勝者となる確率を$Q_n\text{，}$$\mathrm{C}$が勝者となる確率を$R_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$P_2\text{，}$$Q_2\text{，}$$R_2$を求めよ．

(2)　$P_3\text{，}$$Q_3\text{，}$$R_3$を求めよ．

(3)　$P_{3k}\text{，}$$Q_{3k}\text{，}$$R_{3k}$を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．また，極限値

$\underset{k\to \infty }{\lim }{P}_{3k}\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{Q}_{3k}\text{，}$$\underset{k\to \infty }{\lim }{R}_{3k}$

を求めよ．

(1)　並べ方の総数は，$\text{(さ)}$通りである．

(2)　左から$3$番目に$a$がくる並べ方は，$\text{(し)}$通りである．

(3)　左から$3$番目に初めて$a$がくる並べ方は，$\text{(す)}$通りである．

(4)　$a$どうしが隣り合わない並べ方は，$\text{(せ)}$通りである．

(5)　少なくとも$2$個の$a$が左から偶数番目にくる並べ方は，$\text{(そ)}$通りである．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$f^{\prime }(x)=\text{(た)}$である．

(2)　曲線$C$上の点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\sqrt{2})$における接線$l$の方程式は$y=\text{(ち)}$である．

(3)　曲線$C\text{，}$$y$軸および，(2)で定めた接線$l$で囲まれた図形を$D$とする．

(ⅰ)　$D$の面積を$S$とおくと，$S=\text{(つ)}$である．

(ⅱ)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$とおくと，$V_1=\text{(て)}$である．

(ⅲ)　$D$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とおくと，$V_2=\text{(と)}$である．