2024　茨城大学　前期

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{P}$が曲線$C_1\text{：}y=\log x$上を動くとき，線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．$y\geqq 0$の範囲で，$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，図形$D$は境界線を含むものとする．

(1)　曲線$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点の座標を求め，図形$D$を図示せよ．

(3)　図形$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=2024\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}{a}_n-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の各問に答えよ．

(1)　$b_n=n{a}_n$とする．数列$\{b_n\}$の一般項と数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_n$の値が整数となるような$n$の個数を求めよ．

(3)　$\left|a_n\right|$の最小値を求めよ．

【３】　半径$1$の円に内接する正八角形において，その$8$つの頂点のうちの$1$つを$\mathrm{A}$とする．$1$個のさいころを$1$回投げ，出た目が$x$ならば，正八角形の$8$つの頂点のうち$\mathrm{A}$から反時計回りに$x$個先にあるものを$\mathrm{B}$とする．さらに，$1$個のさいころを$1$回投げ，出た目が$y$ならば，正八角形の$8$つの頂点のうち$\mathrm{B}$から反時計回りに$y$個先にあるものを$\mathrm{C}$とする．以下の各問に答えよ．ただし，正八角形が円に内接するとは，正八角形のすべての頂点がその円周上にあることをいう．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が三角形の$3$つの頂点となる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が直角三角形の$3$つの頂点となる確率$p_2$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が三角形の$3$つの頂点となるとき，その三角形の面積を$S$とする．$S$のとり得る値をすべて求めよ．また，$S$のとり得る値の最大値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(n-k)}^2$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\sin }^{5}x\cos x\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_1^2}x\cdot 2^{x-1}\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^3}}$$\text{（}x>0\text{）}$の増減，極値を調べよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　集合$A$を$A=\{2m+3n|m\text{，}n\text{はともに整数}\}$と定める．このとき，$1\in A$と$1\notin A$のどちらが正しいか，理由を付けて答えよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　右図の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BO}=2$となる点$\mathrm{O}$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　$U=\{x|x\text{は実数}\}$を全体集合とし，$U$の部分集合$P\text{，}$$Q$をそれぞれ，

$P=\{x|x<-1\text{または}x>2\}$

$Q=\{x|x^2-(k+1)x+k>0\}$

とする．ただし，$k$は実数の定数とする．

(ⅰ)　$P$の補集合$\bar{P}$を求めよ．答えの根拠となる理由も述べること．

(ⅱ)　$P\subset Q$が成り立つように，定数$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とおくと$\mathrm{OC}=1$であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

【４】　複素数$z$は$z^7=1$かつ$z\ne 1$を満たすとする．$z$と共役な複素数を$\bar{z}$で表すとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$z\bar{z}$の値を求めよ．

(2)　$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．

(3)　$z^6=\bar{z}$が成り立つことを示せ．

(4)　${\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2}}=t$とおく．$2t^3+t^2-t$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{CD}=\mathrm{DA}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=45\mathrm{°}$とするとき，$\mathrm{▵ACD}$の面積$S$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　全体集合を実数全体の集合とする．

$A=\{n|n\text{は整数，}100<n\}\text{，}$

$B=\{n|n\text{は自然数，}\sqrt{6n}\text{は自然数}\}$

とするとき，集合$\overline{A\cup \stackrel{‾}{B}}$を，要素を書き並べる方法で表せ．

【２】　$a$を実数とし，$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-2x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-4x+a-1$を考える．次の各問に答えよ．

(1)　$a=3$のとき，$C_1$と$C_2$は共有点をもたないことを示せ．

(2)　点$(t,-2t^2)$における$C_1$の接線が$C_2$と接するとき，$a$を$t$の式で表せ．

(3)　$a=3$のとき，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線のうち，$x$切片が最大のものを$l$とする．$C_1$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．方程式

$|x^2-2ax+1|={\displaystyle \frac{1}{2}}$

について次の各問に答えよ．

(1)　$a=1$のとき，この方程式を解け．

(2)　この方程式がちょうど$2$つの実数解をもつための$a$の条件を求めよ．

【４】　$a_n>0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$となる数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{a_n}}$で表されるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$S_n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．