2024　福島大学　後期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}=6$であるとき，$a^3+{\displaystyle \frac{1}{a^3}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　二項係数${}_{24}C_3$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi \text{，}$$x\ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan x$と$y=\sin x$のグラフの$3$つの交点を頂点とする三角形の面積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$|x+2y+1|=x+2y+1$をみたす点$(x,y)$の集合を$xy$平面上に図示しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　$xy$平面上において，直線$x=0\text{，}$$y=3$と曲線$y=e^x$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$として，以下の問いに答えなさい．

(1)　$10$の素因数分解を利用して${\log }_{10}5$の値を求めなさい．

(2)　$3^{2024}$の桁数$M$を求めなさい．

(3)　$3^{2024}$の最高位の数字を求めなさい．必要ならば，$3^{2024}$は$1$以上$10$未満の実数$A$を用いて$3^{2024}=A\times {10}^{M-1}$と表されることを用いてよい．

【３】　$a$は正の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，点$\mathrm{C}$$(0,1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(0,2)$が与えられている．この円と線分$\mathrm{AB}$の交点を点$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$は異なるものとする．

(1)　点$\mathrm{D}$の$x$座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　与えられた円上に点$\mathrm{P}$$(-1,1)$をとり，$\mathrm{\angle OPD}$の$2$等分線と円の交点を点$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{\angle OCE}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表しなさい．ただし，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{E}$は異なるものとする．

(3)　点$\mathrm{E}$の$x$座標を$X$と表すとき，$X$を$a$を用いて表しなさい．

(4)　$\underset{a\to \infty }{\lim }X$の値を求めなさい．

【４】　$f(x)={\log }_{e}x\text{，}$$g(x)=\sqrt{{\log }_{e}x}\text{，}$$h(x)={\log }_{2}x$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$の定義域は$x\geqq 1$とする．

(1)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めなさい．

(2)　曲線$y=g(x)$と曲線$y=h(x)$の交点の座標を求めなさい．

(3)　$2g(x)-h(x)\leqq {\log }_{e}2$が常に成り立つことを示しなさい．また，等号が成り立つときの$x$の値を求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(1)　以下の値を求めなさい．

${(3^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}}$

【５】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$0<x<\pi$のとき，方程式$\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$x$を全て書きなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(3)　以下の値を求めなさい．

$8^{{\log }_{3}2}\times 2^{-{\log }_{3}8}$

【５】　以下の問いに答えなさい．

(4)　多項式

$(2n+1)(2n+3)+1$

を因数分解しなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(5)　以下の値を求めなさい．

$\sqrt{2023\cdot 2025+1}$

【６】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の漸化式

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}=a_n+9\cdot {10}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．

(a)　$a_2\text{，}$$a_3$の値を求めなさい．

(b)　$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

(c)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

【６】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$3$つの円の半径はそれぞれ$3\text{，}$$2\text{，}$$5$であり，それぞれの円は他の$2$つの円と互いに外接しているとする．半径$3$の円の中心を点$\mathrm{A}\text{，}$半径$2$の円の中心を点$\mathrm{B}\text{．}$半径$5$の円の中心を点$\mathrm{C}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{BC}\text{，}$線分$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．

(b)　ベクトルの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めなさい．

(c)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

【６】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$a\geqq b$とする．

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

をみたす自然数の組$(a,b)$を全て求めなさい．

【７】　高さが$1$以上$2$未満の直円錐に半径$1$の球が外接しているとする．球の中心から直円錐の底面に下ろした垂線の長さを$x$と表すとき，以下の問いに答えなさい．ただし，直円錐に球が外接しているとは，直円錐の底面の円周と頂点が球面上に あることであり，$x$の範囲は$0\leqq x<1$とする．

(1)　直円錐の底面積$S$を$x$を用いて表しなさい．

(2)　直円錐の底面積$S$の最大値を求めなさい．

(3)　直円錐の体積$V$を$x$を用いて表しなさい．

(4)　直円錐の体積$V$の最大値を求めなさい．

《原注》補足説明　本文中の「直円錐」は「直円すい」と同じである．