2024　山形大学　前期

【１】　$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書かれた$5$枚のカードと$1$枚のコインがある．$5$枚のカードの中から$1$枚を引いてコインを投げ，コインが表であれば引いたカードに書かれた数を得点とし，コインが裏であれば$0$を得点とするゲームを行う．このゲームを$3$回繰り返して，$1$回目の得点を$a\text{，}$$2$回目の得点を$b\text{，}$$3$回目の得点を$c$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a+b+c=15$となる確率を求めよ．

(2)　$a+b+c\leqq 1$となる確率を求めよ．

(3)　$a\times b\times c=0$となる確率を求めよ．

(4)　$a=b=c$となる確率を求めよ．

(5)　同じ得点が$2$回以上続く確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，放物線$y=x^2$を$C\text{，}$直線$y=ax$を$L_1\text{，}$直線$y=2ax+b$を$L_2$とする．放物線$C$と直線$L_1$との交点のうち，原点$\mathrm{O}$と異なる点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$放物線$C$と直線$L_2$との交点のうち，交点の$x$座標が負である点を${\mathrm{P}}_2$とする．また，放物線$C$と直線$L_1$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$放物線$C$と直線$L_2$で囲まれた図形の面積を$S_2\text{，}$$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積を$S_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_1$を$a$を用いて表せ，

(2)　$S_2$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$S_2=64S_1$のとき，$b$を$a$を用いて表せ．

(4)　$S_3$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$3$点$\mathrm{A}$$(-3,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,1)$がある．点$\mathrm{D}$は$y$軸上にあり，直線$\mathrm{AD}$は直線$\mathrm{BC}$と平行であるとする．また，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{AC}$を$3:4$に内分する点とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ACD}$の面積を求めよ．

(4)　点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(5)　点$\mathrm{H}$は$\mathrm{BC}$上にあり，直線$\mathrm{EH}$は直線$\mathrm{BC}$と垂直であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

【４】　自然数$n$に対して，$\sqrt{n}$の整数部分を$a_n$とし${(n-{a_n}^2)}^2$を$b_n$とする．数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_{10}$を求めよ．

(2)　自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$の最大値と最小値を$k$を用いて表せ．

(3)　自然数$k$に対して$n=k^2$のとき，$S_n$を$k$を用いて表せ．

(4)　$S_n=7000$のとき，$n$を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　複素数平面上の点$z$に対して，点$w$を

$w={\displaystyle \frac{1}{2}}(z-\bar{z}+i)(z+\bar{z}-i)$

とする．このとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$z={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}i$のとき，$w$を極形式で表せ，ただし，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(ⅱ)　点$z$が点$-{\displaystyle \frac{1}{2}}i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$w$の絶対値$\left|w\right|$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　関数$f(x)=x+2\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$に対して，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(ⅲ)　次の等式を満たす連続関数$g(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を求めよ．

$g(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{1}{8}}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|g(t)\sin t|\mathit{dt}$

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+3}}\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次のデータの平均値が$5\text{，}$分散が$2$であるとき，$x\text{，}$$y$の値を求めよ．ただし，$x\leqq y$とする．

$7\text{，}4\text{，}6\text{，}x\text{，}y$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，方程式$\cos 2\theta$$-3\sin \theta$$+1=0$を解け．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に点$\mathrm{P}(3t,4t)\text{，}$$\mathrm{Q}(4,-3)$がある．$\mathrm{▵OPQ}$に内接する円を$C$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$である．

(1)　$\mathrm{\angle POQ}$の大きさを求めよ．

(2)　辺$\mathrm{PQ}$の長さを$t$の式で表せ．

(3)　円$C$の半径を$t$の式で表せ．

(4)　円$C$と辺$\mathrm{OP}\text{，}$$\mathrm{OQ}$の接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とおく．円$C$上の点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を結ぶ弧の短い方と線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$とで囲まれた部分の面積を$S$とおく．

(ⅰ)　$S$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }S$を求めよ．

【３】　$0\leqq x<2\pi$のとき，関数

$y=2{\sin }^{2}x$$+2\sqrt{3}\sin x\cos x$$-(3-\sqrt{3})\sin x$$+(1-\sqrt{3})(\cos x+1)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$とおく．

(ⅰ)　$t$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$y$を$t$の式で表せ．

(2)　$y$の値の範囲を求めよ．

(3)　$y=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2(2n+1)n^n}{{(n+1)}^{n+1}}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義し，数列$\{b_n\}$を

$b_n={(a_n)}^{\frac{1}{n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，$a_n={\displaystyle \frac{(2n)!}{n!n^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$\log b_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (1+{\displaystyle \frac{k}{n}})$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．ただし，対数は自然対数である．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．