2024　秋田大学　後期

【１】　$0\leqq x\leqq 2\pi$とする．関数$f(x)=e^{-\frac{x}{2}}\sin x$について，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$における接線の方程式を求めなさい．

(ⅱ)　関数$f(x)$が$x=\alpha$で最大値，$x=\beta$で最小値をとるとする．$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$の値をそれぞれ求めなさい．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$に対して，$\mathrm{▵ABC}$の内部にある点$\mathrm{P}$が$2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+k\overrightarrow{\mathrm{BP}}+3\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$を満たしているとする．ただし，$k>0$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$k$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を$k$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　面積の比が$\mathrm{▵PBQ}:\mathrm{▵PAC}=1:3$となるとき，$k$の値を求めなさい．