2024　宮城教育大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，

$\{\begin{array}{l}{a}_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{a}_2=2\\ S_{n+2}-4S_{n+1}+3S_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

が成り立つとする．次の問に答えよ．

(1)　等式

$S_{n+2}-\alpha S_{n+1}=\beta (S_{n+1}-\alpha S_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす定数$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(2)　(1)の定数$\alpha \text{，}$$\beta$について，等式

$S_{n+2}-\beta S_{n+1}=\alpha (S_{n+1}-\beta S_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

も成り立つことを示せ．

(3)　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{E}$は，直線$\mathrm{OB}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ED}}$の大きさが等しいとする．点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ADE}$上の点$\mathrm{H}$を通る直線$\mathrm{OH}$が，点$\mathrm{H}$でこの平面$\mathrm{ADE}$と垂直に交わるとする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=k\overrightarrow{b}$をみたす定数$k$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)=(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})\sqrt{x-a}$の増減，極値，および，曲線$y=f(x)$の凹凸，変曲点を調べ，そのグラフをかけ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　関数

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t\sin t\mathit{dt}\text{，}$$G(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t\cos t\mathit{dt}$

について，

$F(x)+G(x)=e^x\sin x\text{，}$$F(x)-G(x)=1-e^x\cos x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0<a<1$とする．置換積分法により，定積分

${\displaystyle {\int }_a^1}\sin (\log x)\mathit{dx}$

を$a$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_a^1}\sin (\log x)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$3$次多項式

$P(x)=x^3+b{x}^2+cx+d$

を考える．$P(x)$を$x+1$で割った余りが$4$であり，$P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りが$5x+11$であるとき，定数$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　不等式

$(\sqrt{2}x+y-1)(x^2+y^2-3)<0$

の表す領域を図示せよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-3x+18$を考える．曲線$y=f(x)$と$x$軸の交点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$f(x)$が極大となる$x$の値を$\beta$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$について，その$x$座標を$t$とするとき，$\alpha \leqq t\leqq \beta$であるとする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$とは異なる点で曲線$y=f(x)$に接する直線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかき，$\alpha$と$\beta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$l$とで囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表せ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$11x+7y=1$をみたす整数の組$(x,y)$を$1$つ求めよ．

(2)　整数の組$(x,y)$が$11x+7y=1$をみたすとき，$33x+28y$は，$7$で割ると$3$余り，かつ$11$で割ると$4$余ることを示せ．

(3)　$7$で割ると$3$余り，かつ$11$で割ると$4$余る整数を，$77$で割ったときの余りを求めよ．