2024　東北大学　後期

(1)　つねに$2$が表示されることを予測した場合．

(2)　初めは$2$の表示を予測し続けるが，獲得した合計点が$4$点以上になってからは$1$の表示を予測し続けた場合．

(1)　相異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}(a,c)\text{，}$$\mathrm{B}(b,d)$が同一直線上にないとする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とおくとき，等式

$T={\displaystyle \frac{1}{2}}|ad-bc|$

を示せ．

(2)　$k$を$1\leqq k\leqq 2^n$を満たす整数とする．三角形${\mathrm{P}}_{n+1,2k-2}{\mathrm{P}}_{n+1,2k-1}{\mathrm{P}}_{n+1,2k}$の面積を求めよ．ただし，(1)の等式を用いてよい．

(3)　$S_n$を$n$を用いて表せ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(1)　$x$軸，$2$直線$x=a\text{，}$$x=b\text{，}$および曲線$C$により囲まれた図形を$K$とする．$K$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V$とおく．$V$の値を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$における曲線$C$の接線をそれぞれ$l_0\text{，}$$m_0$とする．$\mathrm{A}$を通り$l_0$と垂直な直線を$l\text{，}$$\mathrm{B}$を通り$m_0$と垂直な直線を$m$とそれぞれおく．$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．$b$が$a$に限りなく近づくとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}$に限りなく近づく．この点$\mathrm{Q}$の座標を$(s,t)$とする．$s\text{，}$$t$を$a$を用いてそれぞれ表せ．また，線分$\mathrm{QA}$の長さを$r$とおくとき，$r$を$a$を用いて表せ．

(3)　$s\text{，}$$t\text{，}$$r$をそれぞれ(2)のものとする．実数$a$を含む区間$s-r<x<s+r$を定義域とする関数

$g(x)=\sqrt{r^2-{(x-s)}^2}+t$

を考える．$g^{\prime }(x)$および$g^{″}(x)$の$x=a$での値，つまり，$g^{\prime }(a)$および$g^{″}(a)$の値を$a$を用いてそれぞれ表せ．

(1)　$2$以上の整数$n$に対し，$(n-1)n(n+1)$は$6$の倍数であることを示せ．

(2)　条件

(＊)　$(p-1)p(p+1)$$-15p^{2}q$$-5q+13500=0$

を満たす素数$p\text{，}$$q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

(1)　点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$が表す点の軌跡を$D$とする．$D$は円となることを示せ．また，円$D$の中心と半径を$\alpha$と$r$を用いて表せ．必要ならば$\bar{\alpha }$や$\left|\alpha \right|$を用いてよい．

(2)　$D$を(1)のものとするとき，円$D$の半径が$1$となるような$r$をすべて求めよ．必要ならば$\left|\alpha \right|$を用いてよい．

(3)　$\alpha =1+\sqrt{3}i$とする．ただし，$i$は虚数単位である．点$z$が円$|z-\alpha |=\left|\alpha \right|$上を条件$z\ne 0$を満たしながら動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$が表す点の軌跡を求め，それを図示せよ．

　第$0$項から始まる数列$b_0,b_1,b_2,\cdots$を以下の規則で定める．$b_0=0\text{，}$$b_1=1$とする．正の整数$n$に対し，$b_n=0$ならば$b_{n+1}=1\text{，}$$b_n=14$ならば$b_{n+1}=13\text{，}$$b_n$が$0$でも$14$でもなければ$b_{n+1}=2b_n-b_{n-1}$とする．

(1)　$a_{210}$および$b_{210}$を求めよ．

(2)　$S={\displaystyle \sum _{n=0}^{210}}{a}_n{b}_n$$=a_0{b}_0$$+a_1{b}_1$$+a_2{b}_2$$+\cdots$$+a_{210}{b}_{210}$とする．等式

$S={\displaystyle \sum _{n=0}^{210}}{a}_n{b}_{210-n}$

を示せ．

(3)　(2)で定めた和$S$の値を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=60°$

とする．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{OD}$および線分$\mathrm{CD}$の長さをそれぞれ求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$を底面とするときの四面体$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とおく．$h$の値を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(1)　$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$a$が$0<a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$の範囲を動くときの$S(a)$の最大値を求めよ．また，その最大値を与える$a$の値を求めよ．