2024　東北大学　前期

【１】　$a$を正の実数とし，$f(x)=x^2-2ax+4a^2$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の放物線$C\text{：}y=f(x)$の頂点を$\mathrm{A}$とする．直線$\mathrm{OA}$と$C$の交点のうち$\mathrm{A}$と異なるものを$\mathrm{P}$$(p,f(p))$とし，$\mathrm{O}$から$C$へ引いた接線の接点を$\mathrm{Q}$$(q,f(q))$とする．ただし，$q>0$とする．

(1)　$p\text{，}$$q$の値を$a$を用いて表せ．また，$p>q$であることを示せ．

(2)　放物線$C$の$q\leqq x\leqq p$の部分，線分$\mathrm{OP}\text{，}$および線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた図形の面積を$S$とおく．$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$に対し，$S={\displaystyle \frac{2}{3}}$となるときの$a$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を$t>1$を満たす実数とする．正の実数$x$が$2$つの条件

(a)　$x>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}-1}}$

(b)　$x\geqq 2{\log }_{t}x$

をともに満たすとする．このとき，不等式

$x+1>2{\log }_t(x+1)$

を示せ．

(2)　$n\leqq 2{\log }_{2}n$を満たす正の整数$n$をすべて求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．それぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と書かれた$3$枚のカードから無作為に$1$枚抜き出し，カードをもとに戻す試行を考える．この試行を$n$回繰り返し，抜き出したカードの文字を順に左から右に並べ，$n$文字の文字列を作る．作った文字列内に$\mathrm{AAA}$の並びがある場合は不可とする．また，作った文字列内に$\mathrm{BB}$の並びがある場合も不可とする．これらの場合以外は可とする．たとえば$n=6$のとき，文字列$\mathrm{AAAABA}$や$\mathrm{ABBBAA}$や$\mathrm{ABBABB}$や$\mathrm{BBBAAA}$などは不可で，文字列$\mathrm{BABAAB}$や$\mathrm{BABABA}$などは可である．作った文字列が可でかつ右端の$2$文字が$\mathrm{AA}$である確率を$p_n\text{，}$作った文字列が可でかつ右端の$2$文字が$\mathrm{BA}$である確率を$q_n\text{，}$作った文字列が可でかつ右端の文字が$\mathrm{B}$である確率を$r_n$とそれぞれおく．

(1)　$p_2\text{，}$$q_2\text{，}$$r_2$をそれぞれ求めよ．また，$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}\text{，}$$r_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$p_n+2q_n+2r_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$p_n+i{q}_n-(1+i)r_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　$p_n=r_n$を満たすための，$n$の必要十分条件を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，点${\mathrm{P}}_1$$(3,-1,1)$を中心とし半径が$\sqrt{5}$の球面$S_1$と，点${\mathrm{P}}_2$$(5,0,-1)$を中心とし半径が$\sqrt{2}$の球面$S_2$を考える．

(1)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さを求めよ．

(2)　$S_1$と$S_2$が交わりをもつことを示せ．この交わりは円となる．この円を$C$とし，その中心を${\mathrm{P}}_3$とする．$C$の半径および中心${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(3)　(2)の円$C$対し，$C$を含む平面を$H$とする．$xy$平面と$H$の両方に平行で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．

(4)　点$\mathrm{Q}$が(2)の円$C$上を動くとき，$\mathrm{Q}$と$xy$平面の距離$d$の最大値を求めよ．また，$d$の最大値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【５】　$x\geqq 2$を満たす実数$x$に対し，

$f(x)={\displaystyle \frac{\log (2x-3)}{x}}$

とおく．必要ならば，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log t}{t}}=0$であること，および，自然対数の底$e$が$2<e<3$を満たすことを証明なしで用いてもよい．

(1)　$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{g(x)}{x^2(2x-3)}}$とおくとき，関数$g(x)$$\text{（}x\geqq 2\text{）}$を求めよ．

(2)　(1)で求めた関数$g(x)$に対し，$g(\alpha )=0$を満たす$2$以上の実数$\alpha$がただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　関数$f(x)$$\text{（}x\geqq 2\text{）}$の増減と極限$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)$を調べ，$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 2\text{）}$のグラフの概形を$xy$平面上に描け．ただし，(2)の$\alpha$を用いてよい．グラフの凹凸は調べなくてよい．

(4)　$2\leqq m<n$を満たす整数$m\text{，}$$n$の組$(m,n)$に対して，等式

(＊)　${(2m-3)}^n={(2n-3)}^m$

が成り立つとする．このような組$(m,n)$をすべて求めよ．

【６】　$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$および円板$D\text{：}{x}^2+y^2\leqq 1$を考える．$D$を底面とし点$\mathrm{P}$$(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする．$\mathrm{A}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)$とする．$xyz$空間内の平面$H\text{：}z=x$を考える．すなわち，$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$\mathrm{AB}$をともに含む平面である．$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\theta$に対し，円$C$上の点$\mathrm{Q}$$(\cos \theta ,\sin \theta ,0）$をとり，線分$\mathrm{PQ}$と$E$の共有点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　線分$\mathrm{PR}$の長さを$r(\theta )$とおく．$r(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　円錐$K$の側面のうち，曲線$E$の点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{R}$までを結ぶ部分，線分$\mathrm{PA}\text{，}$および線分$\mathrm{PR}$により囲まれた部分の面積を$S(\theta )$とおく．$\theta$と実数$h$が条件$0\leqq \theta <\theta +h\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{h{\{r(\theta )\}}^2}{2\sqrt{2}}}\leqq S(\theta +h)-S(\theta )$$\leqq {\displaystyle \frac{h{\{r(\theta +h)\}}^2}{2\sqrt{2}}}$

(3)　円錐$K$の側面のうち，円$C$の$x\geqq 0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく．$T$を求めよ．必要であれば$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=u$とおく置換積分を用いてもよい．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$d$を正の実数とし，$xy$平面上の点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,d)$が次の条件をすべて満たすとする．

$\mathrm{\angle OAD}=15\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle OBD}=75\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=6$

以下の問いに答えよ．

(1)　$\tan 75\mathrm{°}$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$d$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{D}$を直径の両端とする円を$C$とする．線分$\mathrm{AD}$と$C$の交点のうち$\mathrm{D}$と異なるものを$\mathrm{P}$とする．また，線分$\mathrm{BD}$と$C$の交点のうち$\mathrm{D}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．このとき，方べきの定理

$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AD}={\mathrm{AO}}^2\text{，}$$\mathrm{BQ}\cdot \mathrm{BD}={\mathrm{BO}}^2$

を示せ．

(4)　(3)の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対し，積$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BQ}$の値を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．$2$つの整数$a_n\text{，}$$b_n$を条件

${(1+\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$

により定める．ここで，$\sqrt{2}$は無理数なので，このような整数の組$(a_n,b_n)$はただ$1$つに定まる．

(1)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いてそれぞれ表せ．さらに，$b_4\text{，}$$b_5\text{，}$$b_6$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　等式

${(1-\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$b_{n+1}{b}_{n-1}-{b_n}^2$を求めよ．

(4)　$p{b}_6-q{b}_5=1\text{，}$$0\leqq p\leqq 100\text{，}$$0\leqq q\leqq 100$をすべて満たす整数$p\text{，}$$q$の組$(p,q)$を$1$組求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文・教育・法・経済(文系)・医(保健学科看護学専攻)学部

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