2024　岩手大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${}_{10}C_0+{}_{10}C_1+{}_{10}C_2+{}_{10}C_3+\cdots +{}_{10}C_{10}$を計算せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式${\log }_3({\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3))<1$を満たす$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a=1058\text{，}$$b=2024$とするとき，$a$と$b$の最大公約数を求めよ．さらに，次の$2$つの条件を満たす$a$の約数$a^{\prime }$および$b$の約数$b^{\prime }$を求めよ．

・$a^{\prime }$と$b^{\prime }$は互いに素である．

・$a^{\prime }$と$b^{\prime }$の積は$a$と$b$の最小公倍数に等しい．

【２】　図に示す$1$辺の長さが$2$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下のベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

$\text{(ア) }\overrightarrow{\mathrm{CD}}$$\text{(イ) }\overrightarrow{\mathrm{BC}}$$\text{(ウ) }\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{(エ) }\overrightarrow{\mathrm{AD}}$$\text{(オ) }\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

(2)　以下の内積を求めよ．

$\text{(ア) }\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$$\text{(イ) }\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$$\text{(ウ) }\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}$$\text{(エ) }\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FB}}$

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　以下の$3$進法で表された数を，$10$進法で表せ．

${121}_{(3)}$

(2)　以下の$8$進法で表された数を，$2$進法で表せ．

${1357}_{(8)}$

(3)　$3$進法で表すと$3$桁となる正の整数で，最も大きな数を$2$進法で表せ．また，$3$進法で表すと$3$桁となり$2$進法で表すと$5$桁となる正の整数は全部で何個あるかを$10$進法で表せ．

(4)　$(n+1)$進法で表された$k$桁の最も大きな数を$F(n,k)$とする．ただし，ここで$n$および$k$は自然数である．例えば，$F(1,4)={1111}_{(2)}$であり，$F(4,3)={444}_{(5)}$である．$F(n,k)$の値を，$n$と$k$の式として表せ．（すなわち，$n$と$k$を$10$進法で表してこの式を計算すれば，$10$進法で表した$F(n,k)$の値が得られる）

(5)　上で述べた$F(n,k)$において，$k$が$4$以上の偶数，すなわち，$k=2j$として$j$が$2$以上の自然数であるとき，$F(n,k)$すなわち$F(n,2j)$は素数とはならないことを示せ．

【４】　袋に赤玉$3$個と白玉$6$個が入っているとするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回に$1$個ずつ玉を取り出す試行を$2$回行ったとき，少なくとも$1$回は赤玉が出る確率を求めよ．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(2)　同時に$3$個の玉を取り出すとき，赤玉が$1$個かつ白玉が$2$個出る確率を求めよ．

(3)　$1$回に$2$個ずつ玉を取り出して戻す試行を$5$回行ったとき，同じ色の玉が$2$個出る結果が，ちょうど$2$回となる確率を求めよ．

【５】　曲線$A\text{：}y=\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と曲線$B\text{：}y=\cos (x-a)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0\leqq a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　曲線$A$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)　曲線$B$と$x$軸の交点の$x$座標を，$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$A$と曲線$B$の交点の$x$座標を$p$とする．曲線$A$と$x$軸で囲まれる部分の面積が曲線$B$によって$2$等分されるときの$p$の値を求めよ．また，このときの$a$の値を求めよ．

【２】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}$$(-2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,23)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OC}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$s\text{，}$$t$を実数とし，点$\mathrm{Q}$が次の条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を求め図示せよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$0\leqq s+2t\leqq 1\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$$t\geqq 0$

(3)　$a_1=1$を満たす数列$\{a_n\}$の階差数列が初項$4\text{，}$公比$2$の等比数列であるとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　点${\mathrm{R}}_n$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_n}={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表される点としたとき，${\mathrm{R}}_n$が(2)で求めた点$\mathrm{Q}$の存在範囲に含まれる最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　以下の$3$進法で表された数を，$10$進法で表せ．

${121}_{(3)}$

(2)　以下の$8$進法で表された数を，$2$進法で表せ．

${1357}_{(8)}$

(3)　$3$進法で表すと$3$桁となる正の整数で，最も大きな数を$2$進法で表せ．また，$3$進法で表すと$3$桁となり$2$進法で表すと$5$桁となる正の整数は全部で何個あるかを$10$進法で表せ．

【４】　関数

$f(x)=2x(x^2-3x+2)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$m$を定数とする．曲線$y=f(x)$に点$(0,m)$から引くことができる接線の本数を求めよ．

【５】　座標平面上において，点$\mathrm{P}$が円$S\text{：}{x}^2+y^2=16$上を動くとき，点$\mathrm{A}$$(a,0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$C$とする．ここで，$a\geqq 0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と円$S$の共通接線がちょうど$2$つ存在するように，$a$の値の範囲を定めよ．

(3)　(2)の条件下において，直線$y=kx$が曲線$C$と接するとき，$k$を$a$を用いて表せ．ただし，$k>0$とする．

【５】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x^2-t^2)\cos t\mathit{dt}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(2\pi )$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$を微分せよ．

(3)　区間$0\leqq x\leqq 2\pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．