2024　弘前大学　後期理工学部

【１】　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},\log \sqrt{3})$と点$\mathrm{B}$$(t,\log t)$における接線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_{\mathrm{A}}$の方程式を求めよ．

(2)　$2$直線$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，$l_{\mathrm{B}}$の方程式を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x-3}}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，漸近線を調べて，グラフの概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　不定方程式$32x+27y=7$の整数解をすべて求めよ．

(2)　整数の組$(x,y)$が，$32x+27y=7$を満たしながら動くとき

${\displaystyle \frac{|13x+11y|}{{(x+y+11)}^2}}$

の最大値を求めよ．また，そのときの$(x,y)$を求めよ．