2024　弘前大学　前期

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=8\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=15\mathrm{°}$とする．また，三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面上の点$\mathrm{P}$および実数$s$は

$(3-6s)\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2s\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4s\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}\text{，}$$0<s<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$s$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{PBC}$の面積が$\sqrt{2}$以下となるような$s$の値の範囲を求めよ．

【２】　$6$時$00$分を指したまま止まっている時計がある．$1$枚の硬貨を$1$回投げるごとに，表が出れば時計を$5$分進め，裏が出れば時計を$5$分遅らせる操作を行う．硬貨を$12$回投げて時計の操作を終えたとき，次の確率を求めよ．

(1)　時計が$7$時$00$分を指している確率

(2)　時計が$6$時$00$分を指している確率

(3)　時計が$6$時$00$分と$7$時$00$分の間を指している確率

　ただし，$6$時$00$分と$7$時$00$分の間には，$6$時$00$分と$7$時$00$分を含めないこととする．

【３】　関数$f(x)=|2x^2-3x+1|-x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　次の定積分を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2}{3}\pi }}x\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\mathit{dx}$

【４】　次の定積分を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}{\displaystyle \frac{1}{2e^x-3e^{-x}-5}}\mathit{dx}$

【５】　$x>0$において，関数$f(x)$を

$f(x)=x\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$

と定める．また，$a$を正の実数とし，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線を$l_a$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_a$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l_a$が点$(1,{\displaystyle \frac{4}{5}})$を通るような$a$はいくつあるか．必要ならば，$\log 2<0.7$ であることを用いてよい．

【６】　何も入っていない$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と$1$個の球がある．はじめに球を箱$\mathrm{A}$に入れて，$1$個のさいころを$1$回投げるごとに以下の規則に従って球を操作する．

・球が箱$\mathrm{A}$に入っているとき，さいころの出た目が$1$から$4$までのいずれかであれば球を箱$\mathrm{A}$から箱$\mathrm{B}$に移動させ，さいころの出た目が$5\text{，}$$6$のいずれかであれば球を箱$\mathrm{A}$から動かさない．

・球が箱$\mathrm{B}$に入っているとき，さいころの出た目が$1$から$5$までのいずれかであれば球を箱$\mathrm{B}$から箱$\mathrm{A}$に移動させ，さいころの出た目が$6$であれば球を箱$\mathrm{B}$から動かさない．

$n$を自然数とし，さいころを$n$回投げて球の操作を終えた時点で球が箱$\mathrm{A}$に入っている確率を$a_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を求めよ．

【７】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(2,0,a)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,b,c)\text{，}$$\mathrm{R}$$(1,2,2)$がある．ただし，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{O}$と異なる．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \mathrm{\angle POQ}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあるための$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の条件を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあるように点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が動くとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最小値を求めよ．

【８】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{\sqrt{2}\cos x}\sin x$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【９】　$i$を虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で，次の条件を満たす点$z$はどのような図形をえがくか．

条件：${\displaystyle \frac{(i-1)(z+2)}{iz}}$は実数である．

(2)　点$z$が(1)の条件を満たしながら複素数平面上を動くとき，$|iz-1|$の最大値と最小値を求めよ．