2024　北見工業大学　後期

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\log (1+x^4)$の導関数は$y^{\prime }=\text{(ⅰ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　袋に$0\text{，}$$2\text{，}$$4$と書かれたカードが$2$枚ずつ，計$6$枚入っている．袋の中から，$4$枚を無作為に取り出して机の上に$1$列に並べてできる数が$4$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$であるという条件のもとで，$2024$となる条件付き確率は$\text{(ⅱ)}$である．ただし，並べてできる数が$4$桁であるとは，千の位の数が$0$以外となることを意味する．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$\overrightarrow{a}=(p^2,1,1)$と$\overrightarrow{b}=(3,p-3,1)$が垂直ならば，$p=\text{(ⅲ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　${\displaystyle {\int }_2^e}\log x\mathit{dx}=\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　関数$y=f(x)$が媒介変数$t$を用いて$x=t+5\text{，}$$y=t^2-2t$と表されるとき，$y$が最小値をとるような$x$の値は$\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-2n})=\text{(ⅵ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$2^{2024}$を$7$で割ったときの余りは$\text{(ⅶ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$と$|z-1|=1$を満たすとき，$z=\text{(ⅷ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　中心が$(0,2)$で直線$y=x$に接する円の方程式は$\text{(ⅸ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　$n$を自然数とする．$n$が奇数であることは，$n^2+2n+1$が偶数であるための$\text{(ⅹ)}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件であるが必要条件でない

(c)　必要条件であるが十分条件でない

(d)　必要条件でなく十分条件でもない

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$

で定める．また，$t>0$とする．この$t$に対して，点$(t,f(t))$における関数$y=f(x)$のグラフの接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

　以下，接線$l$と$x$軸との交点の座標を$(u,0)$とする．

(3)　$u$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$u$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(5)　(4)で求めた$t$と$u$に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=t\text{，}$$x=u$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=2{\sin }^{2}x-3\sin x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$は$3$つの解を持つ．解をすべて求めよ．

(2)　$f(x)\leqq 0$であるような$x$の値の範囲を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　(1)で求めた解を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とおく．ただし，$a<b<c$とする．さらに，$S$と$T$を

$S={\displaystyle {\int }_0^a}|f(x)|\mathit{dx}\text{，}$$T={\displaystyle {\int }_a^b}|f(x)|\mathit{dx}$

で定める．このとき

$S>T$

が成り立つことを証明せよ．必要であれば，$\pi >3.14$であることを用いてよい．

【４】　北見さんは，ギターを購入するため，$2$年間$\text{（}24$か月）貯金することを考えた．以下の目標と北見さんの考察を読み，文章中の問１〜問４に答えよ．

【北見さんの考察１】

　$4$か月目までの貯金の総額について計算すると

$x+(x+y)+(x+2y)$$+(2x+4y)=5x+7y$

すなわち，その総額は$(5x+7y)$円である．

　さらに，$8$か月目までの貯金額をそれぞれ計算すると，規則から，次のようになる．

$5$か月目は$(2x+5y)$円を貯金する．

$6$か月目は$(2x+6y)$円を貯金する．

$7$か月目は$(2x+7y)$円を貯金する．

$8$か月目は$(4x+14y)$円を貯金する．

【北見さんの考察２】

　自然数$l$に対して，$l$か月目の貯金額を$a_l$円とし，$l$か月目までの貯金の総額を$S_l$円とする．ここで，$l$が$4$の倍数のときのみ貯金額が先月の$2$倍になることから，$a_4\text{，}$$a_8\text{，}$$a_{12}\text{，}$$a_{16}\text{，}\cdots$を考えてみる．

　自然数$n$に対して，$b_n=a_{4n}$とおく．このとき，$b_1=a_4=2x+4y$である．さらに，規則から，$b_2=2(b_1+3y)$であることもわかる．実際，この式に$b_1$の値を代入すると

$b_2=2\{(2x+4y)+3y\}=4x+14y$

となる．この値は考察１で求めた$8$か月目の貯金額と一致する．

【北見さんの考察３】

　自然数$n$に対して，$c_n=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n}$とおく．このとき，$c_n$を$b_n$を用いて表そう．まず，$c_1=a_1+a_2+a_3+a_4$を$b_1$を用いて表す．規則から

$a_4=b_1\text{，}$$a_3={\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1-y\text{，}$$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1-2y$

となることにより

$c_1=({\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1-2y)+({\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1-y)$$+({\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_1)+b_1$$={\displaystyle \frac{5}{2}}{b}_1-3y=5x+7y$

であることがわかる．同様にして，$c_n$を$b_n$を用いて表すことができる．

【北見さんの考察４】

　$24$か月目までの貯金の総額が$3$万円を越えるように$x\text{，}$$y$を定める．自然数$n$に対して，$S_{4n}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$であることを利用すると，$x$と$y$をどのように選べばよいかがわかる．