2024　旭川医科大学　前期

【１】　$K$を正の実数とし，

$f(x)=\log (1+{\displaystyle \frac{x^2}{K^2}})$

とする．ただし，$\log x$$\text{（}x>0\text{）}$は自然対数を表す．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標を$b$として，

$g(x)=b-\sqrt{b^2-x^2}$

とする．曲線$y=g(x)$は，円$x^2+{(y-b)}^2=b^2$の下半円である．$H(x)=f(x)-g(x)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$について，必要ならば$2<e<3$を用いてもよい．

問１　$b$の値を求めよ．

問２　$K=1$とするとき，$H(x)$が$x=0$において極大値をとるか，極小値をとるかを判定せよ．

問３　$\left|x\right|\leqq b$において，$K$の値により，次の(A)，(B)，(C)のいずれかが成り立つ．

(A)　$H(x)\geqq 0$である

(B)　$H(x)$は正の値も負の値もとる

(C)　$H(x)\leqq 0$である

(A)，(B)，(C)のそれぞれが成り立つときの$K$の値の範囲を求めよ．

【２】　$p>1$とし，$x>0$の自然対数$\log x$と$x^p$の商として定義される関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^p}}$

を考える．自然対数の底を$e$として，次の問いに答えよ．

問１　次の極限を調べよ．必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$を用いてもよい．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$

問２　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，変曲点は求めなくてよい．また，$n$を正の整数とするとき，$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{e^n}}$において，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

問３　座標平面の原点を通る直線$l$が曲線$y=f(x)$と点$(a,f(a))$で接しているとき，$a$を$p$を用いて表せ．また，$l$の傾き$m$を$p$を用いて表せ．

問４　曲線$y=f(x)$と直線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，${(p-1)}^{2}S$を求めよ．

【３】　座標平面において$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,-1)$および曲線$xy=1$$\text{（}x>0\text{）}$上を動く点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})$がある．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{▵ABP}$の面積$S$を$p$を用いて表し，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

問２　$\mathrm{▵ABP}$の外接円の半径$r$を$S$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{▵ABP}$の外接円の面積を$T$とし，${\displaystyle \frac{T}{S^2}}$を$p$の関数とみて，これを$f(p)$とする．

(1)　$\underset{p\to \infty }{\lim }f(p)$を求めよ．

(2)　$f(p)$の最大値，最小値，およびそのときの$p$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつ$1$つの箱に入っている．その箱からカードを$1$枚取り出し，数字を確認した後，箱に戻すという試行を繰り返す．$n$を正の整数とし，$n$回の試行後にそれまでに取り出したカードの数字の和が初めて$3$の倍数になる確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3$を求めよ．

問２　$p_n$を求めよ．

問３　$N$を正の整数として${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{n}^2{p}_n$を求めよ．

問４　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{n}^2{p}_n$の和を求めよ．ただし，必要ならば$\left|r\right|<1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{r}^n=0$が成り立つことを用いてもよい．