2024　帯広畜産大学　前期総合問題

【５】

問１

1)　$\alpha$と$\beta$が$\sin \alpha -\sin \beta =0$かつ$\cos \alpha +\cos \beta =0$を満たす実数であるとき，$\cos (\alpha +\beta )$の値を求めなさい．

【５】

問１

2)　不等式$2^m>{\log }_{2}16$を満たす最小の整数$m$の値を求めなさい．

【５】

問１

3)　$n$を正の整数とし，初項$2\text{，}$公差$3$である等差数列の$n$番目の項を$a_n$とする．このとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^{20}}{a}_n$

の値を整数で表しなさい．

【５】

問２　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$つのチームがあり，その中の$2$つのチームが対戦し必ず勝敗が決まるゲームを行う．$\mathrm{A}$と他の$3$つのいずれかのチームが対戦する場合に$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{C}$または$\mathrm{D}$のいずれかと$\mathrm{B}$が対戦する場合にBが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が対戦する場合に$\mathrm{C}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．$4$つのそれぞれのチームが図１のア，イ，ウ，エのいずれかの場所に割り振られたトーナメント表を作成する．作成されたトーナメント表に従って1回戦^(注)で勝ったチーム同士が決勝戦を行い，決勝戦で勝ったチームを優勝とする．

(注)：$1$回戦とはアとイの場所に割り振られたチーム同士の対戦，およびウとエの場所に割り振られたチーム同士の対戦である．

1)　$\mathrm{A}$がア，$\mathrm{B}$がイ，$\mathrm{C}$がウ，$\mathrm{D}$がエに割り振られたトーナメント表が作成されたとする．

(1)　$\mathrm{A}$が決勝戦を行う確率を求めなさい．また，$\mathrm{C}$が決勝戦を行う確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$が決勝戦で対戦する確率を求めなさい．

(3)　$\mathrm{C}$が優勝する確率を求めなさい．

2)　以下の方法で抽選を行いトーナメント表を作成する．最初に，ア，イ，ウ，エの文字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを袋に入れる．各チームは$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の順にこの袋から$1$枚ずつカードを取り出していき，トーナメント表の中で取り出したカードに書かれた文字の場所に割り振られる．ただし，取り出したカードは袋に戻さない．また，袋に入っているそれぞれのカードを取り出す確率は等しいとする．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$1$回戦で対戦する確率を求めなさい．

(2)　作成される可能性のあるすべてのトーナメント表のうち，$\mathrm{C}$が優勝する確率が最も高いトーナメント表を$1$つ書き，その理由も示しなさい．

(3)　$\text{「}\mathrm{C}$が優勝する確率が最も高いトーナメント表が作成され」かつ$\text{「}\mathrm{C}$が優勝しない」確率を求めなさい．

【５】

問３　正の実数$a$に対して，関数

$f(x)=ax$

を考え，$xy$平面上の直線$L$を

$L\text{：}y=f(x)$

で定義する．

1)　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{P}$$(1,2)\text{，}$点$\mathrm{Q}$$(2,4)\text{，}$点$\mathrm{R}$$(\sqrt{5},\sqrt{5})$を考える．$x=1\text{，}$$2\text{，}$$\sqrt{5}$における直線$L$の$y$座標と点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の$y$座標を用いて，

$D={\{f(1)-2\}}^2+{\{f(2)-4\}}^2$$+{\{f(\sqrt{5})-\sqrt{5}\}}^2$

を定義する．

(1)　$D$を$a$の多項式で表しなさい．

(2)　$D$が最小値をとるときの$a$の値を求めなさい．また，$D$の最小値を求めなさい．

2)　関数

$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}$

を用いて，曲線$C$を

$C\text{：}y=g(x)$

で定義する．不等式$0\leqq x\leqq 1$の表す領域を$U$とし，曲線$C\text{，}$直線$L\text{，}$$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた領域と領域$U$の共通部分の面積を$S$とする．

(1)　直線$L$と曲線$C$の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$a$の式で表しなさい．

(2)「(1)で求めた交点のうち$1$つの交点のみが領域$U$内にある」ための必要十分条件を$a$の不等式で表しなさい．

(3)「(1)で求めたすべての交点が領域$U$内にある」ときの$a$の値に対して，面積$S$は実数$t_0\text{，}$$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3$を係数とした$a$の多項式$t_3{a}^3+t_2{a}^2+t_{1}a+t_0$となる．このとき，係数$t_0\text{，}$$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3$の値をそれぞれ求めなさい．

(4)　面積$S$が最小値をとるときの$a$の値を求め，その理由も示しなさい．