2024　室蘭工業大学　前期

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=1+\cos x+x\sin x$と定める．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$を$0\leqq x\leqq \pi$の範囲ですべて求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲での$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^2+2ax+b$と定める．

(1)　$a^2-b=0$とする．不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$a^2-b>0$とする．$\alpha >\beta$を満たす定数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して$f(x)=(x+\alpha )(x+\beta )$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもとで，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\mathit{dx}$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n$を満たすとする．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

【４】　複素数平面上の点$z$に対し

$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}$

と定める．ただし，$i$は虚数単位とし，$z\ne -i$とする．

(1)　$z$を$w$を用いて表せ．

(2)　点$z$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$w$はどのような図形を描くか．

(3)　点$w$が点$-1+2i$を中心とする半径$2$の円上を動くとき，点$z$はどのような図形を描くか．

【５】　$t$を正の実数とし，$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(4\sqrt{2},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\sqrt{2},3t,-3t)$を頂点とする四面体を考える．また，辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の両方に垂直であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が垂直となる$t$の値$t_0$を求めよ．

(3)　(2)の$t_0$に対して，$t=t_0$とする．四面体$\mathrm{OABP}$の体積を求めよ．