2024　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$を$C_1$とし，$C_1$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{p}{2}},{\displaystyle \frac{p^2}{4}})$における$C_1$の接線を$l$とする．ただし，$p$は正の整数とする．また，放物線$y=-x^2+3x-2$を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と放物線$C_2$が$2$つの共有点をもつための$p$の条件を求めよ．

(3)　(2)で求めた条件を満たす最小の$p$について，直線$l$と放物線$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$2$回投げるとき，出た目の数を順に$m\text{，}$$n$とする．このとき，$2$次方程式

$x^2+mx+n=0$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　この$2$次方程式が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．

(2)　この$2$次方程式が重解をもつ確率を求めよ．

(3)　この$2$次方程式の$2$つの解$x_1\text{，}$$x_2$に対して，$x_1-x_2$が整数となる確率を求めよ．ただし，重解の場合は$x_1=x_2$と考える．

(4)　この$2$次方程式は異なる$2$つの実数解$x_1\text{，}$$x_2$をもつとする．このとき，$x_1-x_2$が整数となる確率を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の辺${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の中点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$辺${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$の中点を${\mathrm{B}}_2\text{，}$辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の中点を${\mathrm{C}}_2$として，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$をつくる．

　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のときも同様に，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の辺${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n{\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の中点を，それぞれ，${\mathrm{A}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{B}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{C}}_{n+1}$として，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}$をつくる．

　$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の面積を$1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積を$n$を用いて表せ．

(2)　初項$a\text{，}$公比$r$$\text{（}r\ne 1\text{）}$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると

$S_n={\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　数列$\{T_n\}$を次のように定める．

・最初に，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の内部を黒く塗り，その面積を$T_1$とする．

・次に，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の内部を白く塗り，このとき黒く塗られているすべての部分の面積の和を$T_2$とする．

・次に，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3$の内部を黒く塗り，このとき黒く塗られているすべての部分の面積の和を$T_3$とする．

・以下順に，$n=4\text{，}$$5\text{，}$$\cdots$のとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の内部を，$n$が偶数ならば白く塗り，$n$が奇数ならば黒く塗って，このとき黒く塗られているすべての部分の面積の和を$T_n$とする．

　このとき，$T_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　(3)の$T_n$について，$|T_n-{\displaystyle \frac{4}{5}}|<{\displaystyle \frac{1}{{10}^{12}}}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301$としてよい．