2024　北海道大学　フロンティア入試共通問題

【１】　次の各問に答えなさい．

(1)　媒介変数表示された関数$x={\cos }^{5}t\text{，}$$y={\sin }^{5}t$について，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の関数として表しなさい．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　次の各問に答えなさい．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x+1)e^x\mathit{dx}$を求めなさい．

【２】　$a$と$b$を正の実数とする．$x$の関数$f(x)$を$f(x)=a{x}^2+bx$と定める．曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上にあって$y$座標が最小になる点を$\mathrm{A}$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．

(2)　曲線$C$の原点における接線と平行であって，$\mathrm{A}$を通る直線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{M}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし，交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3\overrightarrow{\mathrm{DB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2\overrightarrow{\mathrm{EC}}$が成り立っている．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MD}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ME}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を求めなさい．

【４】　条件$|5y-x+1|\leqq 8\text{，}$$|y+3x-3|\leqq 8$で定まる$xy$平面の領域の境界をなす平行四辺形の頂点を，$x$座標が小さいものから順に並べて$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

(3)　$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．

(4)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る円の中心の座標を求めなさい．

(5)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めなさい．

(6)　$\mathrm{▵PQR}$の内角のうち最大のものを$\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を求めなさい．

【５】　次の各問に答えなさい．

(1)　不定方程式$11x+19y=222$を満たす自然数の組$(x,y)$を$1$つ求めなさい．

【５】　次の各問に答えなさい．

(2)　等式$x+y+z=10$を満たす整数$x\geqq 1\text{，}$$y\geqq 2\text{，}$$z\geqq 3$の組$(x,y,z)$の個数を求めなさい．

【５】　次の各問に答えなさい．

(3)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}+a_n=2n^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$