2024　北海道大学　後期

【１】　実数全体で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2x-2}{x^2-2x+2}}$

について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が極大となる$x$の値を求めよ．

(2)　次の数列$\{a_n\}$が収束するように実数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

$a_n=k\log (n+1)-{\displaystyle {\int }_2^{n+1}}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　ただし，$\log (n+1)$は$n+1$の自然対数である．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$x$の方程式$(k-1)x^2+(k+1)x+k-1=0$が相異なる$2$つの実数解をもつような整数$k$をすべて求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}$が整数となるような実数$x$をすべて求めよ．

【３】　$3$つの複素数の組$(z_1,z_2,z_3)$が$z_1{z}_2{z}_3\ne 0$および次の$\text{①}$から$\text{③}$をみたすとする．

$z_1=z_2+{\bar{z}}_3\cdots \text{①}\text{，}$$z_2={\bar{z}}_1{z}_3\cdots \text{②}\text{，}$$z_3={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\cdots \text{③}$

ただし，${\bar{z}}_1\text{，}$${\bar{z}}_3$はそれぞれ$z_1\text{，}$$z_3$の共役複素数を表す．

(1)　$\text{②}$と$\text{③}$を用いて，$z_2$が実数であることを示せ．

(2)　$z_1$が実数である$(z_1,z_2,z_3)$の組をすべて求めよ．

(3)　$z_1$が実数でない$(z_1,z_2,z_3)$の組をすべて求めよ．

【４】　$0<t<1$とし，$y=\sin x$ $\text{（}0\leqq x\leqq t\text{）}$で定まる曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}$$(t,\sin t)$を通り$y$軸と平行な直線を$l_1\text{，}$$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$l_2$とする．$l_1\text{，}$$x$軸，$C$で囲まれる図形が$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(t)$とする．$l_2\text{，}$$y$軸，$C$で囲まれる図形が$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$W(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，必要ならば

$\underset{t\to 0}{\lim }({\displaystyle \frac{\cos t}{t^2}}-{\displaystyle \frac{\sin t}{t^3}})=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

を用いてもよい．

(1)　$V(t)$を求めよ．

(2)　$W(t)$を求めよ．

(3)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{W(t)}{\pi t^2\sin t}}$を求めよ．