2024　北海道大学　前期

【１】　$t$を実数とし，$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(\cos 2t,\cos t)$および点$\mathrm{Q}$$(\sin t,\sin 2t)$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するような$t$の値をすべて求めよ．

(2)　$t$が$0<t<2\pi$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．ただし，$x$軸，$y$軸との共有点がある場合は，それらの座標を求め，図中に記せ．

【２】　各面に$1$つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある．$\text{「}1\text{」，}$$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」}$が書かれた面がそれぞれ$1$つずつあり，残りの$5$つの面には$\text{「}0\text{」}$が書かれている．このさいころを水平な床面に投げて，出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える．最初の持ち点は$0$とし，この試行を繰り返す．例えば，$3$回の試行を行ったとき，出た面に書かれた数が$\text{「}0\text{」，}$$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」}$であれば，持ち点は$5$となる．なお，さいころが水平な床面にあるとき，さいころの上部の水平な面を出た面とよぶ．また，さいころを投げるとき，各面が出ることは同様に確からしいとする．

(1)　この試行を$n$回行ったとき，持ち点が$2$以下である確率を求めよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

(2)　この試行を$4$回行って持ち点が$10$以上であったときに，さらにこの試行を$2$回行って持ち点が$17$以上である条件付き確率を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$を実数とする．次のように定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=\alpha \text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　関数$f_1(x)\text{，}$$f_2(x)\text{，}$$f_3(x)\text{，}\cdots$を次の関係式で定める．

$f_1(x)=3x$

$f_{n+1}(x)=(n+2)x^{n+1}+({\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)\mathit{dt})x$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　関数$f_n(x)$を$x$と$n$の式で表せ．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$が，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=10$をみたしているとする．三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，この内接円と辺$\mathrm{OA}$の接点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　辺$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{HI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【５】　関数

$f(x)=x\log (x+2)+1$$\text{（}x>-2\text{）}$

を考える．$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする．$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする．ただし，$\log t$は$t$の自然対数である．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$は下に凸であることを証明せよ．

(3)　$C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　自然数$m\text{，}$$n$について，$2^m\cdot 3^n$の正の約数の個数を求めよ．

(2)　$6912$の正の約数のうち，$12$で割り切れないものの総和を求めよ．

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について考える．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-{\displaystyle \frac{3^{n+1}}{n(n+1)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$a$を$0$でない実数とする．$C$を$y=-x^3+x^2$で表される曲線，$l$を$y=a$で表される直線とし，$C$と$l$は共有点をちょうど$2$つもつとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C$と$l$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(3)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　各面に$1$つずつ数が書かれた正八面体のさいころがある．$\text{「}1\text{」，}$$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」}$が書かれた面がそれぞれ$1$つずつあり，残りの$5$つの面には$\text{「}0\text{」}$が書かれている．このさいころを水平な床面に投げて，出た面に書かれた数を持ち点に加えるという試行を考える．最初の持ち点は$0$とし，この試行を繰り返す．例えば，$3$回の試行を行ったとき，出た面に書かれた数が$\text{「}0\text{」，}$$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」}$であれば，持ち点は$5$となる．なお，さいころが水平な床面にあるとき，さいころの上部の水平な面を出た面とよぶ．また，さいころを投げるとき，各面が出ることは同様に確からしいとする．

(1)　この試行を$2$回行ったとき，持ち点が$1$である確率を求めよ．

(2)　この試行を$4$回行ったとき，持ち点が$10$以下である確率を求めよ．