2024　大学入学共通テスト　追試験　数学II・IIB

【１】

［１］(1)　$x>0$とする．${\log }_{3}x$を，$2$を底とする対数を用いて表そう．

　$t={\log }_{3}x$とおくと，$\text{ア}$が成り立つ．これにより，${\log }_{2}x=\text{イ}$となるので，$t=\text{ウ}$が得られる．すなわち，${\log }_{3}x=\text{ウ}$である．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{イ}$の解答群

　$\text{ウ}$の解答群

(2)　底が異なる二つの対数について，それらの和と積の大小関係を考えよう．

(ⅰ)　$x>0$とし

$f(x)={\log }_{2}x+{\log }_{3}x$

$g(x)=({\log }_{2}x)\cdot ({\log }_{3}x)$

とおく．不等式

$f(x)>g(x)$$\cdots \text{①}$

を満たす$x$の値の範囲を調べる．

　$f(x)$と$g(x)$を，それぞれ$2$を底とする対数を用いて表すと

$f(x)=A{\log }_{2}x\text{，}$$g(x)=B{({\log }_{2}x)}^2$

となる．ここで

$A=\text{エ}\text{，}$$B=\text{オ}$

である．$X={\log }_{2}x$とおくと，$X$のとり得る値の範囲は実数全体である．$X$についての不等式$AX>B{X}^2$を満たす$X$の値の範囲は

$\text{カ}<X<\text{キ}$

である．

　よって，$\text{①}$を満たす$x$の値の範囲は

$\text{ク}<x<\text{ケ}$

である．

　$\text{エ}\text{〜}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$x>0$とし

$F(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}x$

$G(x)=({\log }_{\frac{1}{2}}x)\cdot ({\log }_{\frac{1}{3}}x)$

とおく．不等式

$F(x)>G(x)$$\cdots \text{②}$

を満たす$x$の値の範囲を調べる．

　(1)と同様に考えると，${\log }_{\frac{1}{2}}x$は$2$を底とする対数を用いて$\text{コ}$と表せる．また，${\log }_{\frac{1}{3}}x$も$3$を底とする対数を用いて表すことができる．

　このことから，$f(x)$と$g(x)$を(ⅰ)で定めた関数とするとき，$F(x)$と$G(x)$をそれぞれ$f(x)$または$g(x)$を用いて表すと

$F(x)=\text{サ}\text{，}$$G(x)=\text{シ}$

となる．よって，$\text{②}$を満たす$x$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}<x<\text{ソ}$

であることがわかる．

　$\text{コ}$の解答群

　$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【１】

［２］　花子さんは，三角関数の表を見て，角$\theta$が$90\mathrm{°}$に近づくときの$\tan \theta$の値の変化に興味をもった．なお，表１は三角関数の表の一部である．

　そこで，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす$x$に対して，$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)$と$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$の値を比較してみることにした．

(1)　$\tan 2x={\displaystyle \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}={\displaystyle \frac{\text{タ}}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}}$より分母と分子をそれぞれ${\cos }^{2}x$で割ると

$\tan 2x=\text{チ}$

となる．さらに$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\alpha$に対して，$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )={\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}$が成り立つことから，${\displaystyle \frac{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)}{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)}}$は$\tan x$を用いて

${\displaystyle \frac{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)}{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)}}=\text{ツ}$$\cdots \text{①}$

と表せる．

　$\text{タ}$の解答群

　$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$\text{①}$から，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき${\displaystyle \frac{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)}{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)}}$のとり得る値の範囲は

$\text{テ}<{\displaystyle \frac{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)}{\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)}}<\text{ト}$$\cdots \text{②}$

である．

　$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　花子さんは，表１に載っていない$\tan \mathrm{89.5}\mathrm{°}$の値を，$\text{②}$を用いて調べることにした．

　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-2x)=\tan 89\mathrm{°}$を満たす$x$は

$x={\displaystyle \frac{\pi }{\text{ナニヌ}}}$

である．

　花子さんは，表１を参考にして$\tan 89\mathrm{°}=57.29$とした．$\text{②}$を用いると$\tan 89.5\mathrm{°}$の値は$\text{ネ}$であることがわかる．

　$\text{ネ}$の解答群

【２】　$f(x)=x^3-3x^2+6$とする．

(1)　$f^{\prime }(x)=\text{ア}{x}^2-\text{イ}x$であるから，$f(x)$は$x=\text{ウ}$で極大値$\text{エ}$をとり，$x=\text{オ}$で極小値$\text{カ}$をとる．

　$3\leqq x\leqq 5$の範囲において，$f(x)$は$x=\text{キ}$で最大値をとり，$x=\text{ク}$で最小値をとる．また，$1\leqq x\leqq 3$の範囲において，$f(x)$は$x=\text{ケ}$で最大値をとり，$x=\text{コ}$で最小値をとる．

(2)　$t$を実数とし，$t\leqq x\leqq t+1$の範囲における$f(x)$の最大値を$M(t)\text{，}$最小値を$m(t)$とおく．

　$M(t)=f(t+1)$かつ$m(t)=f(t)$となるような$t$の値の範囲は

$t\leqq \text{サシ}\text{，}$$\text{ス}\leqq t$

である．また，$M(t)=f(t)$かつ$m(t)=f(t+1)$となるような$t$の値の範囲は

$\text{セ}\leqq t\leqq \text{ソ}$

であり，このとき$M(t)-m(t)=f(t)-f(t+1)$となることに注意すると，$\text{セ}\leqq t\leqq \text{ソ}$の範囲において$M(t)-m(t)$は$t={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$で最大値をとることがわかる．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$とし，座標平面において$2$点$(t,f(t))\text{，}$$(t,0)$を結んでできる線分を$l_1$とおく．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$l_1$が通過する部分を図示すると図１の灰色部分となる．ただし，境界（境界線）を含む．なお，図１においては関数$y=f(x)$のグラフの$0\leqq x\leqq 1$の部分を実線で表している．

　このとき，図１の灰色部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ツテ}}{\text{ト}}}$である．

(4)　$g(x)=x^3-6x^2+6x+2$とし，座標平面において$2$点$(t,f(t))\text{，}$$(t,g(t))$を結んでできる線分を$l_2$とおく．また，$r$を実数とし，実数$t$が$r\leqq t\leqq r+1$の範囲を動くとき，$l_2$が通過する部分の面積を$S$とする．

(ⅰ)　$f(x)-g(x)$の値は，$\text{ナ}\text{．}$したがって，すべての実数$r$に対して，$S=\text{ニ}$が成り立つ．

　$\text{ナ}$の解答群

　$\text{ニ}$の解答群

(ⅱ)　$S$を計算すると

$S=f(r+1)-f(r)+4$

となることがわかるので，$r$の値が$r=\text{セ}$から$r=\text{ソ}$まで増加するとき，$S$の値は$\text{ヌ}$ことがわかる．

　$\text{ヌ}$の解答群

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　太郎さんと花子さんは，「はい」か「いいえ」のどちらかで答えられる質問を考えている．質問数は一つで，確率$p$で「はい」の回答が得られ，確率$1-p$で「いいえ」の回答が得られるものとする．この質問を，三人からなるグループの一人ひとりに別々に示し，そのうち一人だけが「はい」と回答する確率を考えたい．

(1)　$1$組のグループにおいて，三人のうち一人だけが「はい」と回答する確率を$q$とする．このとき，$q$は$p$の関数となり，$q=f(p)$とおくと

$f(p)={}_{3}C_{\text{ア}}p{(1-p)}^{3-\text{ア}}$

であり，$f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$となることがわかる．また．$0\leqq p\leqq 1$における関数$q=f(p)$のグラフは図１のようになる．

(2)　太郎さんと花子さんは，「質問Ⅰ」を作成し，試しに三人からなる$9$組のグループに質問した．その結果が図２に示されており，三人のうち一人だけが「はい」と回答したのは，グループ２とグループ９の$2$組のグループであった．

　太郎さんと花子さんは，三人のうち一人だけが「はい」と回答したグループの割合が${\displaystyle \frac{2}{9}}$となったので，(1)の$q$を用いて$q={\displaystyle \frac{2}{9}}$となるかについて考えることにした．$q={\displaystyle \frac{2}{9}}$となる$p$については，方程式$f(p)-{\displaystyle \frac{2}{9}}=0$が

$(p-{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}})(9p^2-12p+1)=0$

と変形できることに着目することにより求められる．

(3)　太郎さんと花子さんは，$p={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$となるように工夫して「質問Ⅱ」を考え，今度は三人からなる$100$組のグループに質問した．その結果，三人のうち一人だけが「はい」と回答したグループは$25$組であった．

(ⅰ)　太郎さんと花子さんは，「質問Ⅱ」における(1)の$q$が${\displaystyle \frac{2}{9}}$となるかどうかを回答の結果から確かめることにした．そこで，$q$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を考えている．

　三人のうち一人だけが「はい」と回答するグループの数を確率変数$X$で表すと，$X$は二項分布$B(\text{カ},q)$に従う．標本の大きさは十分に大きいので，二項分布の正規分布による近似を用いて$q$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めることができる．その信頼区間は$0.17\leqq q\leqq 0.33$となるから，${\displaystyle \frac{2}{9}}$が信頼区間に含まれることが確認できる．

　$\text{カ}$の解答群

(ⅱ)　太郎さんと花子さんは．(ⅰ)の結果を振り返りながら先生と話をしている．

　三人からなる$1$組のグループに質問するとき，「はい」と回答する人数を確率変数$Y$で表すと，$Y$は二項分布$B(\text{キ},p)$に従う．三人からなる$100$組のグループに質問するときの結果を，$Y$と同じ確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさ$n=100$の標本とみなす．これらを確率変数$Y_1\text{，}$$Y_2\text{，}\cdots \text{，}$$Y_{100}$で表す．このとき，期待値は

$E(Y_1)=E(Y_2)=\cdots =E(Y_{100})=\text{ク}p$

となる．三人からなる$100$組のグループから得られた「質問Ⅱ」への回答結果において，標本平均$\bar{Y}$は$1.96\text{，}$標本の標準偏差は$0.90$であった．

　$\text{ク}p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$L\leqq \text{ク}p\leqq U$とするとき，$P(L\leqq \text{ク}p\leqq U)=0.95$である．よって

$P({\displaystyle \frac{L}{\text{ク}}}\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{U}{\text{ク}}})=0.95$

となり，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間が求められる．

　標本の大きさが十分に大きいとき，母標準偏差の代わりに標本の標準偏差を用いてよいことが知られているから，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は$\text{ケ}$となることがわかる．

　$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間から，先生が示唆した$q$のとり得る値の範囲は$0.18\leqq q\leqq 0.30$となる．

　$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ケ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

【４】　$m$を$0$ではない定数とする．座標平面において，$2$本の直線

$y=2x$$\cdots \text{①}$

$y=mx+4$$\cdots \text{②}$

を考える．

　原点$(0,0)$を${\mathrm{Q}}_0\text{，}$点$(0,4)$を${\mathrm{P}}_1$とし，次の手順で点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}$${\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}\cdots$を定める．

(1)　$m=2$とする．すなわち，$\text{②}$は$y=2x+4$である．${\mathrm{Q}}_1$の座標は$(\text{ア},\text{イ})$であり，${\mathrm{P}}_2$の座標は$(\text{ウ},\text{エ})$である．

　自然数$n$について，${\mathrm{P}}_n$の$y$座標を$a_n$とする．${\mathrm{Q}}_n$の$x$座標を$a_n$を用いて表すと，$\text{オ}$となる．よって，${\mathrm{P}}_{n+1}$の$y$座標$a_{n+1}$は$\text{カ}$となる．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{キ}$である．

　$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{キ}$の解答群

(2)　$m=-1$とする．すなわち，$\text{②}$は$y=-x+4$である．自然数$n$について，${\mathrm{P}}_n$の$y$座標を$b_n$とする．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$について，$b_1=\text{ク}$かつ

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サ}}}{b}_n+\text{シ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．よって，数列$\{b_n\}$の一般項は

$b_n={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{ソタ}}{\text{チ}}}\right)}^{n-1}＋{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$

となる．

(ⅱ)　自然数$n$について，${\mathrm{Q}}_{n-1}$と${\mathrm{P}}_n$を結ぶ線分の長さを$c_n$とし，${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{Q}}_n$を結ぶ線分の長さを$d_n$とする．${\mathrm{Q}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n$を順に結んだ折れ線の長さを$S_n$とおく．$S_n=c_1$$+d_1$$+c_2$$+d_2$$+\cdots$$+c_n$$+d_n$である．

　すべての自然数$n$について，$d_n$を$c_n$を用いて表すと，$d_n=\text{ト}$である．また，数列$\{c_n\}$について

$c_{n+1}=\text{ナ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．このことを用いると

$S_n=\text{ニ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

　$\text{ト}\text{，}$$\text{ナ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ニ}$の解答群

【５】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．ただし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一直線上にはないとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．

　$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を以下のように定める．

・線分$\mathrm{OA}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

・線分$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

・線分$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と$t$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{ア}\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{イ}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\text{ウ}\overrightarrow{a}+\text{エ}\overrightarrow{b}$

である．

　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を図１の位置にとる．$t={\displaystyle \frac{1}{3}}$のときの$\mathrm{R}$の位置として，図１における点${\mathrm{R}}_0\text{，}$${\mathrm{R}}_1\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{R}}_9$のうち，正しいものは$\text{オ}$である．ただし，図１における破線は，$\mathrm{OA}$を$9$等分する点を通り$\mathrm{OB}$に平行な線分と，$\mathrm{OB}$を$9$等分する点を通り$\mathrm{OA}$に平行な線分である．また${\mathrm{R}}_0\text{，}$${\mathrm{R}}_1\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{R}}_9$は，いずれもこれらの線分どうしの交点である．

　$\text{オ}$の解答群

(3)　$0\mathrm{°}<\mathrm{\angle AOB}<90\mathrm{°}$の場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OC}$と垂直に交わる直線を$l$とする．$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$と$l$の距離について考えよう．

　直線$\mathrm{BC}$と$l$の交点を$\mathrm{D}$とし，$k$を$\mathrm{OA}:\mathrm{BD}=1:k$を満たす正の数とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と$k$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{カ}$

である．また，直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{OD}$が垂直に交わることから，$k=\text{キ}$であることがわかる．

　$\text{カ}$の解答群

　$\text{キ}$の解答群

(ⅱ)　$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，垂直な二つのベクトル$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$と$k\text{，}$$t$を用いて表すことを考えよう．まず$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$と$k$を用いると

$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{1}{k+1}}(\text{ク})\text{，}$$\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{k+1}}(\text{ケ})$

と表すことができる．

　これから

であることがわかる．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{コ}\text{〜}$$\text{セ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅲ)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$と$l$の距離が最小になるのは$t=\text{ソ}$のときである．

　$\text{ソ}$の解答群

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,4)$と点$\mathrm{P}$がある．

(1)　$m$を正の実数として，$\mathrm{P}$が

$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:m$$\cdots \text{①}$

を満たすときの$\mathrm{P}$の軌跡について考えよう．

　$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とすると

${\mathrm{OP}}^2=x^2+y^2$

${\mathrm{AP}}^2={(x-\text{ア})}^2+{(y-\text{イ})}^2$

である．また，$\text{①}$より

${\mathrm{AP}}^2-m^2{\mathrm{OP}}^2=0$$\cdots \text{②}$

が得られる．

(ⅰ)　$m=1$のとき，$\mathrm{P}$の軌跡は直線

$y={\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{\text{オ}}}x+{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$

である．この直線は直線$\mathrm{OA}$と$\text{ク}\text{．}$

　$\text{ク}$の解答群

(ⅱ)　$m=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{P}$の軌跡は円

${(x+\text{ケ})}^2+{(y+\text{コ})}^2=\text{サシ}$

である．この円の中心は点$(\text{スセ},\text{ソタ})\text{，}$半径は$\text{チ}\sqrt{\text{ツテ}}$である．

(2)　$k$と$q$を実数の定数として

${\mathrm{AP}}^2+k{\mathrm{OP}}^2=q$$\cdots \text{③}$

を考える．$\text{③}$において$k=-m^2\text{，}$$q=0$とすると$\text{②}$が得られる．$\text{③}$を満たす$\mathrm{P}$の軌跡について考えよう．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$の軌跡が直線になるのは，$k=\text{トナ}$のときである．この直線と直線$\mathrm{OA}$は$\text{ニ}\text{，}$

　$\text{ニ}$の解答群

(ⅱ)　$k=1$とする．このとき，$\mathrm{P}$の軌跡が円であるための必要十分条件として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{a}}$のうち，正しいものは$\text{ヌ}$である．

　$\text{ヌ}$の解答群

【４】　$p\text{，}$$q$を実数とし，複素数$\alpha$を$\alpha =p+qi$とする．

(1)　$\alpha -p=qi$が成り立つので，この両辺を$2$乗することにより，$\alpha$は

${\alpha }^2-\text{ア}\alpha +\text{イ}=0$

を満たすことがわかる．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$x^3$を$x^2-\text{ア}x+\text{イ}$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)$とすると，$Q(x)=x+\text{ウ}\text{，}$$R(x)=\text{エ}x-\text{オ}$である．

　$\text{ウ}\text{〜}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　太郎さんと花子さんは，${\alpha }^3$が実数になるとき，$p$と$q$が満たす関係式について話している．

(ⅰ)　太郎さんの求め方について考えてみよう．

　${\alpha }^3=\text{カ}$であるから，${\alpha }^3$が実数になるとき，$p$と$q$は$\text{キ}=0$を満たすことがわかる．

　$\text{カ}$の解答群

　$\text{キ}$の解答群

(ⅱ)　花子さんの求め方について考えてみよう．

　$P(x)=x^2-\text{ア}x+\text{イ}$とする．(2)と同じように，$x^3$を$P(x)$で割ったときの商を$Q(x)\text{，}$余りを$R(x)$とすると，${\alpha }^3=\text{ク}$であることがわかる．したがって，実数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて$Q(x)=x+l\text{，}$$R(x)=mx+n$と表すと，${\alpha }^3$が実数になるとき，$\text{ケ}=0$となることがわかる．

　このことと(2)より，$p$と$q$が満たす関係式は$\text{キ}=0$とわかる．

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

(4)　${(s+t)}^4$を展開すると

${(s+t)}^4$$=s^4+\text{コ}{s}^{3}t$$+\text{サ}{s}^2{t}^2+\text{シ}s{t}^3+t^4$

であるから，${\alpha }^4=\text{ス}+(\text{セ})i$であることがわかる．

　このことと(3)における花子さんの考え方を用いると，$x^4$を$x^2-\text{ア}x+\text{イ}$で割った余りの$x$の係数は$\text{ソ}$であることがわかる．

　$\text{ス}$の解答群

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）