2024　大学入学共通テスト　本試験　数学II・IIB

【１】

［１］(1)　$k>0\text{，}$$k\ne 1$$$とする．関数$y={\log }_{k}x$と$y={\log }_{2}kx$のグラフについて考えよう．

(ⅰ)　$y={\log }_{3}x$のグラフは点$(27,\text{ア})$を通る．また，$y={\log }_2{\displaystyle \frac{x}{5}}$のグラフは点$(\text{イウ},1)$を通る．

(ⅱ)　$y={\log }_{k}x$のグラフは，$k$の値によらず定点$(\text{エ},\text{オ})$を通る．

(ⅲ)　$k=2\text{，}$$3\text{，}$$4$のとき

$y={\log }_{k}x$のグラフの概形は$\text{カ}$

$y={\log }_{2}kx$のグラフの概形は$\text{キ}$

である．

　$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(2)　$x>0\text{，}$$x\ne 1\text{，}$$y>0$とする．${\log }_{x}y$について考えよう．

(ⅰ)　座標平面において，方程式${\log }_{x}y=2$の表す図形を図示すると，$\text{ク}$の$x>0\text{，}$$x\ne 1\text{，}$$y>0$の部分となる．

　$\text{ク}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(ⅱ)　座標平面において，不等式$0<{\log }_{x}y<1$の表す領域を図示すると，$\text{ケ}$の斜線部分となる．ただし，境界（境界線）は含まない．

　$\text{ケ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

【１】

［２］　$S(x)$を$x$の$2$次式とする．$x$の整式$P(x)$を$S(x)$で割ったときの商を$T(x)\text{，}$余りを$U(x)$とする．ただし，$S(x)$と$P(x)$の係数は実数であるとする．

(1)　$P(x)=2x^3+7x^2+10x+5\text{，}$$S(x)=x^2+4x+7$の場合を考える．

　方程式$S(x)=0$の解は$x=\text{コサ}\pm \sqrt{\text{シ}}i$である．

　また，$T(x)=\text{ス}x-\text{セ}\text{，}$$U(x)=\text{ソタ}$である．

(2)　方程式$S(x)=0$は異なる二つの解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．このとき

$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になる

ことと同値な条件を考える．

(ⅰ)　余りが定数になるときを考えてみよう．

　仮定から，定数$k$を用いて$U(x)=k$とおける．このとき，$\text{チ}\text{．}$したがって，余りが定数になるとき，$\text{ツ}$が成り立つ．

　$\text{チ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

　$\text{ツ}$の解答群

(ⅱ)　逆に$\text{ツ}$が成り立つとき，余りが定数になるかを調べよう．

　$S(x)$が$2$次式であるから，$m\text{，}$$n$を定数として$U(x)=mx+n$とおける．$P(x)$を$S(x)\text{，}$$T(x)\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表すと，$P(x)=\text{テ}$となる．この等式の$x$に$\alpha \text{，}$$\beta$をそれぞれ代入すると$\text{ト}$となるので，$\text{ツ}$と$\alpha \ne \beta$より$\text{ナ}$となる．以上から余りが定数になることがわかる．

　$\text{テ}$の解答群

　$\text{ト}$の解答群

　$\text{ナ}$の解答群

　(ⅰ)，(ⅱ)の考察から，方程式$S(x)=0$が異なる二つの解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとき， $P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になることと$\text{ツ}$であることは同値である．

(3)　$p$を定数とし， $P(x)=x^{10}-2x^9-p{x}^2-5x\text{，}$$S(x)=x^2-x-2$の場合を考える．$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になるとき，$p=\text{ニヌ}$となり，その余りは$\text{ネノ}$となる．

【２】　$m$を$m>1$を満たす定数とし，$f(x)=3(x-1)(x-m)$とする．また，$S(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$とする．関数$y=f(x)$と$y=S(x)$のグラフの関係について考えてみよう．

(1)　$m=2$のとき，すなわち，$f(x)=3(x-1)(x-2)$のときを考える．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値は$x={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(ⅱ)　$S(x)$を計算すると

であるから

　$x=\text{ク}$のとき，$S(x)$は極大値${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$をとり

　$x=\text{サ}$のとき，$S(x)$は極小値$\text{シ}$をとることがわかる．

(ⅲ)　$f(3)$と一致するものとして，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，正しいものは$\text{ス}$である．

　$\text{ス}$の解答群

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$$1\leqq x\leqq m$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1=\text{セ}\text{，}$$S_2=\text{ソ}$である．

　$S_1=S_2$となるのは$\text{タ}=0$のときであるから，$S_1=S_2$が成り立つような$f(x)$に対する関数$y=S(x)$のグラフの概形は$\text{チ}$である．また，$S_1>S_2$が成り立つような$f(x)$に対する関数$y=S(x)$のグラフの概形は$\text{ツ}$である．

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{タ}$の解答群

　$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフの特徴から関数$y=S(x)$のグラフの特徴を考えてみよう．

　関数$y=f(x)$のグラフは直線$x=\text{テ}$に関して対称であるから，すべての正の実数$p$に対して

${\displaystyle {\int }_{1-p}^1}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_m^{\text{ト}}}f(x)\mathit{dx}$$\cdots \text{①}$

が成り立ち，$M=\text{テ}$とおくと$0<q\leqq M-1$であるすべての実数$q$に対して

${\displaystyle {\int }_{M-q}^M}\{-f(x)\}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_M^{\text{ナ}}}\{-f(x)\}\mathit{dx}$$\cdots \text{②}$

が成り立つことがわかる．すべての実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)\mathit{dx}=S(\beta )-S(\alpha )$

が成り立つことに注意すれば，$\text{①}$と$\text{②}$はそれぞれ

$S(1-p)+S(\text{ト})=\text{ニ}$

$2S(M)=\text{ヌ}$

となる．

　以上から，すべての正の実数$p$に対して，$2$点$(1-p,S(1-p))\text{，}$$(\text{ト},S(\text{ト}))$を結ぶ線分の中点についての記述として，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうち，最も適当なものは$\text{ネ}$である．

　$\text{テ}$の解答群

　$\text{ト}$の解答群

　$\text{ナ}$の解答群

　$\text{ニ}$の解答群

　$\text{ヌ}$の解答群

　$\text{ネ}$の解答群

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．また，ここでの晴れの定義については，気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする．

(1)　太郎さんは，自分が住んでいる地域において，日曜日に晴れとなる確率を考えている．

　晴れの場合は$1\text{，}$晴れ以外の場合は$0$の値をとる確率変数を$X$と定義する．また，$X=1$である確率を$p$とすると，その確率分布は表１のようになる．

　この確率変数$X$の平均（期待値）を$m$とすると

$m=\text{ア}$

となる．

　太郎さんは，ある期間における連続した$n$週の日曜日の天気を，表１の確率分布をもつ母集団から無作為に抽出した大きさ$n$の標本とみなし，それらの$X$を確率変数$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$で表すことにした．そして，その標本平均$\bar{X}$を利用して，母平均$m$を推定しようと考えた．実際に$n=300$として晴れの日数を調べたところ，表２のようになった．

　母標準偏差を$\sigma$とすると，$n=300$は十分に大きいので，標本平均$\bar{X}$は近似的に正規分布$N(m,\text{イ})$に従う．

　一般に，母標準偏差$\sigma$がわからないとき，標本の大きさ$n$が大きければ，$\sigma$の代わりに標本の標準偏差$S$を用いてもよいことが知られている．$S$は

で計算できる．ここで，${X_1}^2=X_1\text{，}$${X_2}^2=X_2\text{，}\cdots \text{，}$${X_n}^2=X_n$であることに着目し，右辺を整理すると，$S=\sqrt{\text{エ}}$と表されることがわかる．

　よって，表２より，大きさ$n=300$の標本から求められる母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は$\text{オ}$となる．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{イ}$の解答群

　$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{オ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　ある期間において，「ちょうど$3$週続けて日曜日の天気が晴れになること」がどのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう．以下では，連続する$k$週の日曜日の天気について，(1)の太郎さんが考えた確率変数のうち，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_k$を用いて調べる．ただし，$k$は$3$以上$300$以下の自然数とする．

　$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_k$の値を順に並べたときの$0$と$1$からなる列において，「ちょうど三つ続けて$1$が現れる部分」を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{A}$の個数を確率変数$U_k$で表す．例えば，$k=20$とし，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_{20}$の値を順に並べたとき

$1,1,1,1,0,$$\underset{\mathrm{A}}{\underset{‾}{1,1,1}},$$0,0,1,1,1,1,1,0,0,$$\underset{\mathrm{A}}{\underset{‾}{1,1,1}}$

であったとする．この例では，下線部分は$\mathrm{A}$を示しており，$1$が四つ以上続く部分は$\mathrm{A}$とはみなさないので，$U_{20}=2$となる．

　$k=4$のとき，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$X_3\text{，}$$X_4$のとり得る値と，それに対応した$U_4$の値を書き出すと，表３のようになる．

　ここで，$U_k$の期待値を求めてみよう．(1)における$p$の値を$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．$k=4$のとき，$U_4$の期待値は

$E(U_4)={\displaystyle \frac{\text{カ}}{128}}$

となる．$k=5$のとき，$U_5$の期待値は

$E(U_5)={\displaystyle \frac{\text{キク}}{1024}}$

となる．

　$4$以上の$k$について，$k$と$E(U_k)$の関係を詳しく調べると，座標平面上の点$(4,E(U_4))\text{，}$$(5,E(U_5))\text{，}\cdots \text{，}$$(300,E(U_{300}))$は一つの直線上にあることがわかる．この事実によって

$E(U_{300})={\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サ}}}$

となる．

【４】(1)　数列$\{a_n\}$が

$a_{n+1}-a_n=14$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

　$a_1=10$のとき，$a_2=\text{アイ}\text{，}$$a_3=\text{ウエ}$である．

　数列$\{a_n\}$の一般項は，初項$a_1$を用いて

$a_n=a_1+\text{オカ}(n-1)$

と表すことができる．

(2)　数列$\{b_n\}$が

$2b_{n+1}-b_n+3=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

　数列$\{b_n\}$の一般項は，初項$b_1$を用いて

$b_n=(b_1+\text{キ}){\left({\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\right)}^{n-1}-\text{コ}$

と表すことができる．

(3)　太郎さんは

$(c_n+3)(2c_{n+1}-c_n+3)=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

を満たす数列$\{c_n\}$について調べることにした．

(ⅰ)

・数列$\{c_n\}$が$\text{①}$を満たし，$c_1=5$のとき，$c_2=\text{サ}$である．

・数列$\{c_n\}$が$\text{①}$を満たし，$c_3=-3$のとき，$c_2=\text{シス}\text{，}$$c_1=\text{セソ}$である．

(ⅱ)　太郎さんは，数列$\{c_n\}$が$\text{①}$を満たし，$c_3=-3$となる場合について考えている．

　$c_3=-3$のとき，$c_4$がどのような値でも

$(c_3+3)(2c_4-c_3+3)=0$

が成り立つ．

・数列$\{c_n\}$が$\text{①}$を満たし，$c_3=-3\text{，}$$c_4=5$のとき

$c_1=\text{セソ}\text{，}$$c_2=\text{シス}\text{，}$$c_3=-3\text{，}$$c_4=5\text{，}$$c_5=\text{タ}$

である．

・数列$\{c_n\}$が$\text{①}$を満たし，$c_3=-3\text{，}$$c_4=83$のとき

$c_1=\text{セソ}\text{，}$$c_2=\text{シス}\text{，}$$c_3=-3\text{，}$$c_4=83\text{，}$$c_5=\text{チツ}$

である．

(ⅲ)　太郎さんは(ⅰ)と(ⅱ)から，$c_n=-3$となることがあるかどうかに着目し，次の命題$\mathbf{A}$が成り立つのではないかと考えた．

　命題$\mathbf{A}$が真であることを証明するには，命題$\mathbf{A}$の仮定を満たす数列$\{c_n\}$について，$\text{テ}$を示せばよい．

　実際，このようにして命題$\mathbf{A}$が真であることを証明できる．

　$\text{テ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

(ⅳ)　次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は，数列$\{c_n\}$に関する命題である．

(Ⅰ)　$c_1=3$かつ$c_{100}=-3$であり，かつ$\text{①}$を満たす数列$\{c_n\}$がある．

(Ⅱ)　$c_1=-3$かつ$c_{100}=-3$であり，かつ$\text{①}$を満たす数列$\{c_n\}$がある．

(Ⅲ)　$c_1=-3$かつ$c_{100}=3$であり，かつ$\text{①}$を満たす数列$\{c_n\}$がある．

　(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の真偽の組合せとして正しいものは$\text{ト}$である．

　$\text{ト}$の解答群

【５】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(2,7,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,6,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-8,10,-3)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-9,8,-4)$がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l_1$とし，$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る直線を$l_2$とする．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\text{ア},\text{イウ},\text{エ})$

であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\text{オ}$である．

(2)　花子さんと太郎さんは，点$\mathrm{P}$が$l_1$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となる$\mathrm{P}$の位置について考えている．

　$\mathrm{P}$が$l_1$上にあるので，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たす実数$s$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{カ}$が成り立つ．

　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となる$s$の値を求めれば$\mathrm{P}$の位置が求まる．このことについて，花子さんと太郎さんが話をしている．

　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=\text{キ}{s}^2-\text{クケ}s+\text{コサ}$である．

　また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となるとき，直線$\mathrm{OP}$と$l_1$の関係に着目すると$\text{シ}$が成り立つことがわかる．

　花子さんの考え方でも，太郎さんの考え方でも，$s=\text{ス}$のとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最小となることがわかる．

　$\text{カ}$の解答群

　$\text{シ}$の解答群

(3)　点$\mathrm{P}$が$l_1$上を動き，点$\mathrm{Q}$が$l_2$上を動くとする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になる$\mathrm{P}$の座標は$(\text{セソ},\text{タチ},\text{ツテ})\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標は$（\text{トナ},\text{ニヌ},\text{ネノ})$である．

【３】(1)　$\cos x=0$を満たす$x$は，$0\leqq x<2\pi$の範囲に二つある．そのうち，値が小さい方は$x=\text{ア}$であり，大きい方は$x=\text{イ}$である．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)

(ⅰ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式

$\cos 3x+\cos 2x+\cos x=0$$\cdots \text{①}$

を考える．

　三角関数の加法定理により

$\cos 3x=\cos (2x+x)=\text{ウ}$

$\cos x=\cos (2x-x)=\text{エ}$

が成り立つ．これらを用いると

$\cos 3x+\cos 2x+\cos x=(\text{オ}+1)\cos 2x$$\cdots \text{②}$

が得られる．

　$\text{②}$により，$\text{①}$は$\text{カ}$個の解をもつことがわかる．そのうち，最も小さい解は$x={\displaystyle \frac{\pi }{\text{キ}}}$であり，$2$番目に小さい解は$x={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\pi$である．

　$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{オ}$の解答群

(ⅱ)　$n$を$3$以上の自然数とする．$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式

$\cos (n+1)x+\cos nx$$+\cos (n-1)x=0$$\cdots \text{③}$

を考える．

　(ⅰ)と同じように考えると，$\text{③}$のすべての解を求めることができる．そのうち，最も小さい解は$x=\text{コ}$であり，$2$番目に小さい解は$x=\text{サ}$である．

　$\text{コ}\text{，}$$\text{サ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【４】　座標平面において，方程式$x^2+y^2=4$が表す円を$C_1\text{，}$$x^2-8x+y^2+15=0$が表す円を$C_2$とする．

　必要に応じて，次のことを用いてもよい．

(1)　$C_2$の中心は点$(\text{ア},\text{イ})\text{，}$半径は$\text{ウ}$である．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式を求める方法について考えよう．

　次の方針に基づいて考える．

　$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(p,q)$をとり，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l$とする．$\mathrm{P}$は$C_1$上にあるので

$p^2+q^2=4$

が成り立つ．

(ⅰ)　$l$の方程式を求めよう．

　$p\ne 0$かつ$q\ne 0$の場合を考える．原点$(0,0)$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線を$m$とすると，$l$と$m$は垂直である．$m$の傾きは$\text{エ}$であるので，$l$の傾きは$\text{オ}$となる．よって，$l$の方程式は$\text{カ}$となる．

　$p=0$または$q=0$の場合も，$\text{カ}$の表す直線は，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線となることがわかる．

　$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{カ}$の解答群

(ⅱ)　$l$が$C_2$に接するのは，$\text{キ}$ときである．

　$\text{キ}$の解答群

(ⅲ)　(ⅰ)，(ⅱ)での考察から次のことがわかる．

　$l$が$C_2$に接するときの$\mathrm{P}$の座標は

である．ただし，${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}<{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$とする．よって，これらの$p\text{，}$$q$の組を$\text{カ}$に代入すれば，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式が得られる．