2022　山陽小野田市立山口東京理科大学　中期薬学部MathJax

(1)　球と$xy$平面の交わりが作る円の方程式は，

$x^2+\text{ア}x+y^2+\text{イ}y+\text{ウ}=0\text{，}$$z=0$

となる．

(2)　$xy$平面上で(1)で求めた円に接し，原点$(0,0)$を通る$2$つの直線の式は，

$y=0$と$y=-{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}x$

となる．

(3)　球と各平面の交わりが作る$3$つの円の中心を結んだ三角形の面積は，

$\sqrt{\text{カ}\text{キ}}$

となる．

(1)　副作用が現れた$5$人のうち，$2$人だけが$\mathrm{A}$剤を投与した患者である確率は，

${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$

となる．

(2)　副作用が現れた$5$人のうち，$\mathrm{A}$剤を投与した患者が$2$人以下である確率は，

${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$

となる．

(1)　線分$\mathrm{BG}$の長さを下記の手順で求める．いま，$\mathrm{\angle BGF}=3\theta$とする．このとき，線分$\mathrm{BG}$を$\sin 3\theta$を用いて表すと$\mathrm{BG}={\displaystyle \frac{1}{\text{ア}\sin 3\theta }}$となる．

　次に，$\sin 3\theta$を$\sin \theta$の多項式として表すことを考える．このとき，$\sin 3\theta =\cos \text{イ}\theta$であることから，$\sin 3\theta =\text{ウ}-\text{エ}{\sin }^2\theta$となる．また，$\sin 3\theta =\sin (2\theta +\theta )=\text{オ}\sin \theta -\text{カ}{\sin }^3\theta$となり，

$\text{カ}{\sin }^3\theta -\text{エ}{\sin }^2\theta -\text{オ}\sin \theta +\text{ウ}=0$

となる．この方程式を$\sin \theta$について解くと，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{-\text{キ}+\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$となり，$\sin 3\theta ={\displaystyle \frac{\text{コ}+\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}$となる．従って，$\mathrm{BG}={\displaystyle \frac{-\text{ス}+\sqrt{\text{セ}}}{\text{ソ}}}$となる．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}={\displaystyle \frac{-\text{タ}+\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\text{テ}+\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}\overrightarrow{b}$

となる．従って，$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{GD}}={\displaystyle \frac{-\text{ニ}+\sqrt{\text{ヌ}}}{\text{ネ}}}\overrightarrow{a}+(-\text{ノ}+\sqrt{\text{ハ}})\overrightarrow{b}$

となる．

$a_n(m)=\left[{\displaystyle \frac{mn}{10}}\right]$

ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．例えば，$[1.3]=1$であり，$[5]=5$となる．このとき，次の(1)，(2)の$$内のカタカナに当てはまる$0\text{〜}$$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．

(1)　$1\leqq m\leqq 10\text{，}$$1\leqq n\leqq 10$であるとき，$a_n(m)=1$となる$m\text{，}$$n$の値の組は，$\text{ア}\text{イ}$組存在する．

(2)　$b_n(m)=a_n(m)-a_{n-1}(m)$とする．このとき，

$c_m={\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{b}_k(m)$

とすると，$c_2$の値はとなり，${\displaystyle \sum _{m=1}^{10}}{c}_m$の値は$\text{オ}\text{カ}\text{キ}$となる．

(1)　$a=3\text{，}$$b=8$のとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

(2)　$b=-1$のとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$が$3$点で交わるような$a$の範囲を求めなさい．