2022　大阪公立大学　後期MathJax

$f(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$

によって定める．媒介変数表示

$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$

により表される曲線$C$について考える．

　次の問いに答えよ．

問１　$0\leqq t\leqq \log 2$に対して，$1\leqq f(t)\leqq 1+t^2$を示せ．

問２　正の実数$a$に対して，曲線$C$と$x$軸および直線$x=f(a)$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

問３　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$に対して，$S(a)\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3$を示せ．

　次の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{MD}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{PM}$と線分$\mathrm{MD}$の長さの比$\mathrm{PM}:\mathrm{MD}$を求めよ．

問２　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵BCD}$の面積の比$\mathrm{▵ABC}:\mathrm{▵BCD}$を求めよ．

規則：時刻が$1$増えるごとに，自身が今いる頂点と辺で結ばれている$3$つの頂点の内いずれか$1$つに等確率で移動する．

$n$を自然数とし，時刻$n$で$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が

$\mathrm{A}$：同じ頂点に位置する

$\mathrm{B}$：ある辺の両端に位置する

$\mathrm{C}$：ある面の対角線の両端に位置する

$\mathrm{D}$：この立方体の対角線の両端に位置する

となる確率をそれぞれ，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$とする．

　次の問いに答えよ．

問１　時刻$0$で$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が状態$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のそれぞれの場合に，$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$d_1$を求めよ．

問２　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}\text{，}$$d_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$で表せ．

問３　時刻$0$で$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が状態$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のそれぞれの場合に，$e_n=a_n+c_n$と$f_n=b_n+d_n$を求めよ．

問４　時刻$0$で$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が状態$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のそれぞれの場合に，$a_n$を求めよ．

問１　閉区間$[a,b]$（ただし$a<b\text{）}$において，関数$y=f(x)$のグラフは上に凸とする．このとき，区間$[a,b]$にある実数$x\text{，}$$x^{\prime }$に対して，グラフ上の$2$点$\mathrm{A}$$(x,f(x))$と$\mathrm{B}$$(x^{\prime },f(x^{\prime }))$を結ぶ線分はグラフの下側にある．よって，正の実数$m\text{，}$$n$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点はグラフの下側にあるから，

$f\left({\displaystyle \frac{nx+m{x}^{\prime }}{m+n}}\right)\geqq {\displaystyle \frac{nf(x)+mf(x^{\prime })}{m+n}}$(ア)

が成り立つ．この(ア)を利用して，次の不等式を示せ．

　$N$を自然数とするとき，区間$[a,b]$にある実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_N$に対して，

$f\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}}\right)$$\geqq {\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_N)}{N}}$

問２　$N$を$2$以上の自然数とする．点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の半円弧上に，反時計回りに相異なる$N+1$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}$$P_N$を順番にとる．$\alpha =\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_N$は$0<\alpha <\pi$を満たすとする．点$\mathrm{O}\text{，}$点${\mathrm{P}}_0\text{，}$$\cdots \text{，}$点${\mathrm{P}}_N$を頂点とする凸$(N+2)$角形の面積を$S$とする．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$N$に対して，${\theta }_k=\angle {\mathrm{P}}_{k-1}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k$とおく．$S$を${\theta }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\theta }_N$と$r$を用いて表せ．

問３　問２において，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_N$は固定し，${\mathrm{P}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{N-1}$を動かしたときの$S$の最大値を$T$とする．$T$を$r\text{，}$$\alpha \text{，}$$N$を用いて表せ．

　次の問いに答えよ．

問１　$K$の面の数$f$を求めよ．

問２　$K^{\prime }$の各頂点について，その頂点に集まる面の数が$3$であることを示せ．

問３　$K^{\prime }$について，正方形である面の数が$6$であることを示せ．

問４　$K^{\prime }$の面の数を$f^{\prime }$とするとき，$f\geqq f^{\prime }$であることを示せ．