2021　公立千歳科学技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$2^{2x^2}\times 4^{4x}\times 8^2=1$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　座標平面上の$2$つの直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+1$と$y=2x-3$がなす角$\theta$の大きさを求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$3$次方程式$x^3-3x+a=0$が，$1$個の正の解と，異なる$2$個の負の解をもつような実数の定数$a$の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\mathrm{AAAABBCCCDE}$の$11$文字のアルファベットを横一列に並べるとき，何通りの並べ方があるか求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$3$辺の長さが$x\text{，}$$2x+3\text{，}$$-2x+5$である直方体のうち，体積が最大であるものの体積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　$2$進法で表された2つの数の積${10110110}_{(2)}\times {1101}_{(2)}$を$10$進法で答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　${\log }_2(x+1)+{\log }_4(x+1)+{\log }_8(x+1)=11$の解を求めなさい．

【２】　$n$を正の整数とするとき，$n(n^2+2)$は$3$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2-1$に接する直線を$l$とし，その接点を$\mathrm{P}$とするとき，以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線$\mathrm{OP}$と$l$が直交するとき，直線$l$の方程式と，対応する点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めなさい．

(2)　(1)で求めた$l$のうち，傾きが正でかつ最大であるものを$l_1\text{，}$傾きが負でかつその絶対値が最大のものを$l_2$とするとき，$C$と$l_1$および$l_2$のすべてによって囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

【４】　$y=2{\cos }^{2}x-3\cos x-5$の最小値および最大値を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．