2021　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$z$を$0$でない複素数とし，

$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$w$が実数となるとき，点$z$は複素数平面上でどのような図形を描くか．

(2)　$w$が純虚数となるとき，点$z$は複素数平面上でどのような図形を描くか．

(3)　$r$を$1$でない正の実数とする．$\left|z\right|=r$となるとき，点$w$は複素数平面上でどのような図形を描くか．

(4)　$z$の偏角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とする．$\left|w\right|=1$のとき，$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$k$を実数とする．関数

$f(\theta )=2^{\sin \theta }$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$

を考える．$f(\theta )$の最大値と最小値を，それぞれ$M$と$m$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　放物線$y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$の原点$\mathrm{O}$$(0,0)$を通る接線の方程式を求めよ．

(2)　$f(\theta )$の最大値$M$と，そのときの$\theta$の値を求めよ．また，$f(\theta )$の最小値$m$と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　$m\leqq x\leqq M$のとき，$x$についての方程式

$x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}=kx$

の実数解の個数を求めよ．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\theta$についての方程式

$2^{2\sin \theta }+{\displaystyle \frac{1}{2}}=k{2}^{\sin \theta }$

の実数解の個数を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{F}$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$$(-1,0)$がある．楕円$E$は$2$点$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$からの距離の和が$2a$$\text{（}1<a<3\text{）}$である点の軌跡である．線分$\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }$上の点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{F}{\mathrm{F}}^{\prime }$に垂直な直線と$E$が交わる$2$点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　楕円$E$の短軸の長さを求めよ．

(2)　楕円$E$の方程式を求めよ．

(3)　$a=\sqrt{2}$とする．線分$\mathrm{AB}$を底辺とし，高さが$h$$\text{（}h>0\text{）}$である二等辺三角形を$xy$平面に対し垂直に作る．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{F}$から点${\mathrm{F}}^{\prime }$まで動くとき，この三角形が通過してできる立体の体積$V$を$h$を用いて表せ．

(4)　楕円$E$上の点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{\angle }\mathrm{FQ}{\mathrm{F}}^{\prime }=30\mathrm{°}$を満たす$\mathrm{Q}$の$y$座標を$a$を用いて表せ．

【４】　$\mathrm{AC}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AB}\leqq \mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=\alpha$の長方形の紙$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{B}$より$\mathrm{AC}$に下した垂線と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{D}$より$\mathrm{AC}$に下した垂線と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．この紙を右下図のように対角線$\mathrm{AC}$で折りまげる．$\mathrm{BE}$と$\mathrm{DF}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AE}$と$\mathrm{EF}$の長さを$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\theta =90\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{BD}=\sqrt{5}$となるような$\alpha$の値を求めよ．

(3)　$\alpha$を(2)で求めた値とし，$\mathrm{B}$より平面$\mathrm{ACD}$に下した垂線と平面$\mathrm{ACD}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$が$\mathrm{▵ACD}$の内部にあるとき，$\cos \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x^{-2}+x^{-3}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$および$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，変曲点と漸近線を求め，曲線の概形を描け．

(3)　$a$を定数とする．方程式$a{x}^3=x+1$の閉区間$[-{\displaystyle \frac{3}{2}},3]$における実数解の個数を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{，}$直線$y={\displaystyle \frac{3}{8}}\text{，}$直線$y=2$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．