2020　同志社大　神・心理・商・グローバル地域文化学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$U$とし，円$U$上に$4$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-1)$をとる．動点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を出発点とし，$1$秒毎にサイコロを振り，$1\text{，}$$2$の目が出たときは原点$\mathrm{O}$を中心として正の向に${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$回転し，$3$以上の目が出たときは原点$\mathrm{O}$を中心として負の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$回転するものとする．出発して$n$秒後に動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$とし，$n$秒後に$1$度も点$\mathrm{C}$を経由することなく動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にある確率を$s_n$とする．また，出発して$n$秒後に動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$とし，$n$秒後に動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とし，$n$秒後に動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{D}$にある確率を$d_n$とする．ただし$n$は自然数とする．

　このとき，$a_{n+1}$を$b_n\text{，}$$d_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=\text{ア}$となり，$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$c_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=\text{イ}$となる．

　また，$a_{n+1}-c_{n+1}$を$b_n\text{，}$$d_n$を用いて表すと，$a_{n+1}-c_{n+1}=\text{ウ}$となり，$a_{n+1}+c_{n+1}$を$b_n\text{，}$$d_n$を用いて表すと，$a_{n+1}+c_{n+1}=\text{エ}$となる．

　$n$が奇数であるとき，$a_n=\text{オ}$であり，$s_n=\text{カ}$である．

　$n$が偶数であるとき$s_n=\text{キ}$である．また，$n=2k$（$k$は自然数）とおくとき，$k$を用いて$a_{2k}-c_{2k}=\text{ク}$と表すことができ，$a_{2k}+c_{2k}=\text{ケ}$と表せる．$k$を用いて$a_{2k}=\text{コ}$と表すことができる．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とし，また頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{CA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{Q}$とし，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{BC}=2$であり，$\mathrm{\angle CAB}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\beta$とする．$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S_2$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle PRC}\text{，}$$\mathrm{\angle QRC}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle PRQ}\text{，}$$\mathrm{\angle PRB}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{PQ}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(5)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=x^3+{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2-2x-6$と関数$g(x)=x^3+|{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2-2x-6|$に対し，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=g(x)$を考える．

　次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)　実数$p$が$p>-{\displaystyle \frac{5}{6}}$を満たすとき，点$(p,8)$を通る曲線$C_1$の接線の本数を調べよ．

(3)　曲線$C_2$と直線$y=k$の異なる共有点の個数が$3$となるような実数$k$の範囲を求めよ．