2020　高知工科大学　AOシステム工学群MathJax

【１】　$t$を実数とする．また，$\overrightarrow{a}=(t,2,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,1,2)$とおく．このとき，以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$t$を用いて表せ．

(2)　${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^2$を$t$を用いて表せ．

(3)　$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|\leqq \sqrt{11}$を満たすような$t$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直とならないことを証明せよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(7,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,4)$がある．$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とする．このとき，以下の(1)〜(4)に答えよ．

(1)　$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$\cos \theta$を$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の式で表せ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$と$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の半径$r$と中心の座標を求めよ．

【３】　$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$とおく．このとき，以下の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　$k$を正の定数とする．方程式$f(x)=k$がちょうど$2$個の異なる実数解をもつように，$k$の値を定めよ．

(3)　(2)のとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．